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Der Artikel Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit gehört zur Kategorie: Geometrie, Stringtheorie
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Ein Schnitt durch eine Calabi-Yau, die Quintik Bildherkunft |
Mit Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, kurz Calabi-Yau, bezeichnet man in der Mathematik spezielle komplexe Mannigfaltigkeiten, die eine Rolle in der algebraische Geometrie spielen. Die theoretische Physik, vor allem die Stringtheorie, hat ebenfalls ein besonderes Interesse an diesen Objekten, da sechs-dimensionale Calabi-Yaus zur Kompaktifizierung der Theorie verwendet werden.
Definition
Eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit ist eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit verschwindender erster Chern-Klasse. Letztere Bedingung ist für kompakte Mannigfaltigkeiten nach einer Vermutung von Eugenio Calabi aus dem Jahr 1954 E. Calabi: The space of Kähler metrics, Proc. Int. Congr. Math. Amsterdam, 1954, welche 1977 von Shing-Tung Yau bewiesen wurde S.-T. Yau: Calabi's Conjecture And Some New Results In Algebraic Geometry, Proc. Nat. Acad. Sci. 74:1798-1799, 1977, äquivalent zu der Existenz einer Ricci-flachen Metrik. Äquivalent kann man eine n komplex dimensionale Calabi-Yau als eine Mannigfaltigkeit mit SU(n) Holonomie definieren. Dies ist wiederum äquivalent zur Existenz einer global definierten, nirgends verschwindenden holomorphen (n,0)-Form.Beispiele
- n=1: Die riemannschen Flächen, die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, sind die elliptischen Kurven. Da die Torus-Metrik flach ist, ist die Holonomiegruppe trivial.
- n=2: In zwei komplexen Dimensionen gibt es zwei verschiedene Klassen von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten: K3-Flächen (mit ganz SU(2) als Holonomiegruppe) und kompakte komplexe Tori (mit trivialer Holonomiegruppe).
- n=3: In drei komplexen Dimensionen existiert keine vollständige Klassifikation von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Ein bekanntes Beispiel ist die Quintik (d.h. die Nullstellenmenge eines Polynomes 5. Grades) im komplexen projektiven Raum [Formel]. An dem Problem der Klassifizierung arbeitet u.a. eine Arbeitsgruppe in Wien unter der Leitung von Maximilian Kreuzer M. Kreuzer: Webseite zur Klassifizierung bestimmter Untergruppen von Calabi-Yaus
Anwendung in der Stringtheorie
Calabi-Yaus spielen eine wichtige Rolle in der supersymmetrischen Version der Stringtheorie, da diese in ihrer einfachsten Version in 10 Dimensionen formuliert wird. Um die bekannten vier Raumzeit-Dimensionen zu erhalten, nimmt man an, dass die sechs extra Dimensionen kompakt und genügend klein sind und daher mit den heutigen Experimenten nicht nachweisbar sind. Die Theorie in den verbleibenden vier nicht kompakten Richtungen hängt dabei wesentlich von der gewählten Geometrie dieser internen sechs Dimensionen ab.Die besondere Bedeutung der Calabi-Yau Eigenschaft ist, dass eine Kompaktifizierung der zehndimensionalen Stringtheorie auf einer Calabi-Yau Geometrie zu einer vierdimensionalen Theorie im flachen Minkowski-Raum und mit ungebrochener Supersymmetrie führen kann.
Verallgemeinerungen
Von Nigel Hitchin wurde eine Verallgemeinerung des Begriffs Calabi-Yau, eine sogenannte Generalized Calabi-Yau (Generalisierte Calabi-Yau) vorgeschlagen N. Hitchin: Generalised Calabi-Yau Manifolds, Quart. J. Math. Oxford Ser. 54:281-308, 2003; math.DG/0209099, welche im Zusammenhang der generalisierten komplexen Geometrie definiert wurde. Auch diese Erweiterung findet Anwendung in der Stringtheorie.Literatur
- M. Gross, D. Huybrechts, D. Joyce: Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries, Springer, 2003, ISBN 354-04-4059-3
- T. Hübsch: Calabi-Yau Manifolds: A Bestiary for Physicists, World Scientific, 1992, ISBN ISBN 981-02-0662-3
Weblinks
- Definition von Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten bei mathworld (englisch)
- Calabi-Yau Home Page an der Universität Bonn (englisch)
Quellen
simple:Calabi-Yau manifold
Diskussion der Autoren über den Artikel: Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit
Eine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, kurz Calabi-Yau, ist eine kompakte
Kähler-Mannigfaltigkeit mit verschwindender erster Chern-Klasse.
Das geht nicht als erster Satz, das ist beim besten Willen nichtmal ansatzweise Oma-tauglich. Am Anfang sollte eine Erklärung für Dummies stehen und erst dann eine strikte Definition. -- 80.136.34.146 19:24, 14. Jun 2006 (CEST)
- Die Dinger sind wichtig! Man braucht sie in der String-Theorie, weil ihre Holonomie-Gruppe eine SU(n) ist. Ich habe allerdings zu wenig Ahnung von dem Zeug, um auch nur einen sinnvollen Einleitungssatz zu verfassen. -- 217.232.47.56 21:47, 5. Jul 2006 (CEST)
Habe zwei Blabla-Einleitungssaetze hinzugefuegt. Ich gebe allerdings zu bedenken, dass ein Interesse an dem Begriff automatisch eine entsprechende Vorbildung impliziert. Floriang 13:13, 6. Jul 2006 (CEST)
"Schattenwurf"
Ich habe folgenden Abschnitt entfernt, da er eine Uebersimplifizierung darstellt und (im Allgemeinen) das Problem nicht korrekt beschreibt. Floriang 15:42, 17. Jul 2006 (CEST)Anschaulicher ausgedrückt stellen die Calabi-Yau hier den Eigenschaftsraum der Elementarteilchen (repräsentiert durch Strings) dar, der alle real möglichen Schwingungen der Strings und damit die Eigenschaften der Elementarteilchen wie z.B. Ladung und Masse beschreibt. Analog zum Schattenwurf eines dreidimensionalen Körpers auf eine ebene Fläche bedeutet die Kompaktifizierung die Abbildung (den Schattenwurf) des Calabi-Yaus in die beobachtbare vierdimensionale Raumzeit. Der in sechs Dimensionen schwingende String wirft dabei als Schatten das Elementarteilchen mit seinen Eigenschaften in die beobachtbare vierdimensionale Raumzeit.
Piscator 14.8.2006 Welches Problem wird denn damit nicht korrekt beschrieben ?
Und was übersimplifiziert. Kein Mensch (ausser Mathematikern und Physikern) kann sich was unter Kompaktifizierung vorstellen.
Kannst du mal konkret sagen, was an o.g. Darstellung falsch sein soll ? Ein - passender - CY ist in der Stringtheorie der - sechdimensionale - Raum, der alle möglichen Schwingungszustände eines Strings und damit alle möglichen Zustände aller Elementarteilchen darstellt. Da wir nur vierdimensioinal wahrnehmen können, sehen wir immer nur die vierdimensionalen Schatten (= Elementarteilchen) der sechdimensionalen CY's.
Gruss Piscator
- Hallo. Du wirfst hier die Anregungsmoden der Strings (die auch in der 10d-Theorie existieren) und die Kaluza-Klein-Moden von Kompaktifizierungen durcheinander. Wie eine spezielle CY das Niedrigenergiespektrum beeinlusst haengt in erster Linie von der betrachteten Theorie ab (z.B. heterotisch oder Type II) - betrachtet werden aber immer nur die Nullmoden (also Masse=0) Anregungszustaende des Strings, da die hoeheren Moden Massen [Formel] haben und daher (in sehr guter Naeherung) keinen Einfluss auf die 4d-Theorie. Die Kaluza-Klein-Moden (die von der Groesse des kompakten Raums abhaengen) koennen ggf. durchaus einen Einfluss haben, ueblicherweise waelt man aber die Raeume klein genug, so dass die Massen der KK-Teilchen sehr gross werden. Die Analogie zu einem Schattenwurf halte ich fuer sehr ungluecklich, da hier keine Projektion vorliegt, sondern die Eigenschaften der 4d-Teilchen durch den kompakten Raum beeinflusst werden. Gruesse, --Floriang 22:58, 15. Aug 2006 (CEST)
Es gibt in der Stringtheorie doch gar keine 4d Teilchen. Wir nehmen die eindimensionalen Teilchen (strings) die im 6 Dimensionen schwingen nur 4-dimensional wahr, weil wir nur diese 4 Dimensionen beobachten können bzw. die übrigen Dimensionen sich aufgrund der geringen Grösse unserer Beobachtung entziehen. Oder nicht ?
Piscator 1 16:29, 17. Aug 2006 (CEST)
- Nicht ganz. Ich empfehle zum Einstieg: Barton Zwiebach: A First Course in String Theory. Grüße, --Floriang 19:28, 17. Aug 2006 (CEST)
Unverständlich... raus
Nach Diskussion auf der Portalseite Baustein entfernt. --El. 11:22, 21. Aug 2006 (CEST)
