Der Artikel Exhaustionsmethode gehört zur Kategorie: Integralrechnung, Ebene Geometrie, Geschichte der Mathematik
Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration.
Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren und so Pi bestimmen könne, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig "erschöpft" sei.
Mit dieser Idee entwickelte Eudoxos von Knidos die Exhaustionsmethode und berechnete so das Volumen einer Pyramide und eines Kegels. Diese Methode nennt sich "Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. "herausnehmen, erschöpfen, vollenden")
Archimedes griff dieses Verfahren auf und berechnete so, mittels eines 96-Ecks, die Abschätzung [Formel] und das bestimmte Integral einer Parabel.
Das Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert ein wichtiges Integrationsverfahren. Ludolph van Ceulen führte den Ansatz Archimedes' bis zum [Formel]-Eck im Kreis fort und konnte Pi in 30-jähriger Rechenarbeit so bis auf 35 Stellen berechnen.
Diskussion der Autoren über den Artikel: Exhaustionsmethode
Überarbeiten 9. Juli 2005
- Was hat 22/7 mit dem 96-Eck zu tun?
- Auf :en:method of exhaustion wird Eudoxos von Knidos als Urheber der Methode genannt.
- Geht es nicht nur um Flächenabschätzungen?
- Math-Tutor von St. Andrews sagt: die Idee stammt von Antiphon, Eudoxos hat ein Verfahren draus gemacht und bsp. die Formel für das Kegelvolumen bewiesen (keine Ahnung wie) und Archimedes war der mit dem 96-Eck. Der Bruch 22/7 hat damit allerdings nichts zu tun. --DaTroll 09:25, 18. Jul 2005 (CEST)
- Und was hat 223/71 mit dem 96-Eck zu tun? Meine Frage ist: Man kann den Flächeninhalt des 96-Ecks ausrechnen, das ist ein Ausdruck mit schrecklich vielen Wurzeln. Wie kam Archimedes dann auf diesen Näherungswert?--Gunther 09:58, 18. Jul 2005 (CEST)
- Also die allwissende Müllhalde verrät, dass die Brüche wohl nicht aus der Fläche, sondern den Umfängen kommen. Wie genau er das gemacht hat, bleibt aber dubios. Ich habe hier eine Beschreibung im Colerus, vom Einmaleins zum Integral, wie er die Parabel integriert hat, zum 96-Eck finde ich nichts konkretes. --DaTroll 18:07, 18. Jul 2005 (CEST)
- Ob Fläche oder Umfang, das ist ja nicht so der große Unterschied. Ich glaube mich zu erinnern, dass in unserem Schulmathebuch stand, dass Archimedes (in heutiger Sprache) die Halbwinkelformeln benutzt hat, um
- [Formel]
- oder
- [Formel]
- herzuleiten (oder so ähnlich). (Stehen die Formeln eigentlich schon irgendwo?) Aber vielleicht verwechsele ich das jetzt auch.
- Die relevante Kettenbruchnäherung des Umfanges des 96-Ecks ist 245/39, für den Flächeninhalt 135/43 bzw. 383/122. So funktioniert es jedenfalls nicht.--Gunther 13:43, 19. Jul 2005 (CEST)
Ein_Link dazu. Schön, daß Ihr angefangen habt. jetzt such ich den zweiten. Habe in google nach ´´exhaustion archimedes´´ pdf gesucht.--Roomsixhu 10:30, 19. Jul 2005 (CEST)
Zweiter Link zu Kreis und Parabel, sogar mir verständlich, Archimedes´ Referenzliteratur ist verlorengegangen und wird nachempfunden (analytisch). Er hat nämlich bei der Parabel (s.o. 2.) einige Striche vergessen. Auf Seite 11 die letzte Gleichung muß um die zu erwartenden Striche aus der Zeichnung ergänzt werden.
Und ne ganze historische Liste. Mit Arbeiten des Autors Franz Lemmermeyer. Ich find ihn ganz gut. Er antwortet auch auf e-mails.--Roomsixhu 14:25, 19. Jul 2005 (CEST)
In diesem Buch findet sich so gut wie alles: C. H. Edwards, Jr.: The Historical Development of the Calculus, Springer Verlag. Er geht auch darauf ein, wie Archimedes die Wurzeln abgeschätzt hat, um auf den oben genannten Bruch zu kommen. Ich habe gerade allerdings keine Zeit, mir das genau anzugucken. Allerdings gibts noch ein paar dringende Punkte: i) Unter Ludolph van Ceulen sind einige Formeln angegeben. Die sind da fehl am Platz, weil van Ceulen ja einfach nur den Algorithmus von Archimedes weitergerechnet hat. Wo sollen sie hin: hierher, zu Archimedes oder zu beiden? ii) Archimedes hat ja beim Kreis etwas mehr gemacht als nur die Exhaustionsmethode, nämlich noch umschreibende Polygone, um die obere Abschätzung zu kriegen ohne die man natürlich auch nicht sagen kann: ich habe Pi auf X Stellen bestimmt. Inwieweit sollte das hier noch erwähnt werden? Ein wirklich neues mathematisches Prinzip ist es natürlich nicht, Exhaustion allerdings auch nicht. --DaTroll 18:24, 19. Jul 2005 (CEST)
Name
Spricht etwas dagegen, statt der Einführung des Worts "exhaustion" als neues Fremdwort den deutschen, außerdem spezifischeren, Begriff "Ausschöpfungsverfahren" zu verwenden? --FRR 11:09, 2. Nov 2005 (CET)
- Swiw ist Exhaustionsmethode nun einmal der Fachausdruck. Laut [LINK] wurde diese Bezeichnung im 17. Jh. eingeführt.--Gunther 11:18, 2. Nov 2005 (CET)
