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Kategorientheorie

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Gruppen, Gruppe, Ringe, Domain, Abstract, Arbeit, Englisch, Rahmen, Rolle


Der Artikel Kategorientheorie gehört zur Kategorie: Kategorientheorie, Theoretische Informatik
Die Kategorientheorie oder die kategorielle Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich Anfang der 1940er Jahre zuerst im Rahmen der Topologie entwickelte; Saunders MacLane nennt seine 1945 gemeinsam mit Samuel Eilenberg entstandene »General Theory of Natural Equivalences« (in Trans. Amer. Math. Soc., 58, 1945) die erste explizit kategorientheoretische Arbeit. Die Grundbegriffe dieser Theorie sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.

Die Kategorientheorie lässt sich, ähnlich wie die universelle Algebra, als allgemeine Theorie mathematischer Strukturen auffassen. Dabei werden allerdings Eigenschaften mathematischer Strukturen (klassische Strukturen sind z.B. Gruppen, Ringe, Moduln und topologische Räume) nicht über Relationen zwischen Elementen (der Trägermenge(n)) definiert, sondern gleichsam durch Vergleiche (mittels »Morphismen« und »Funktoren«) sowohl innerhalb von als auch zwischen Kategorien.

Diese Art der Abstraktion führt nicht nur zu einer Klärung grundlegender, theorieübergreifender Begriffe, sie ermöglicht es auch, erfolgreiche Methoden und Konzepte einer speziellen mathematischen Theorie auf andere Bereiche und Objektklassen zu übertragen. Ein illustratives Beispiel liefert die Geschichte der homologischen Algebra, deren Methoden zuerst auf abelsche Gruppen beschränkt waren, dann auf Moduln über Ringen verallgemeinert wurden und schließlich, im kategorientheoretischen Gewand der Theorie der abelschen Kategorien, auf abelsche Garben übertragen wurden und da der Konstruktion von Kohomologietheorien, vor allem in der algebraischen Geometrie, dienen.

Die Kategorientheorie ist ebenso für Grundlagenfragen relevant. Topoi, das sind kategorientheoretische Extrakte der Kategorie der Mengen, in der wichtige Eigenschaften von Mengen rein pfeiltheoretisch formuliert werden, stellen eine Alternative zum axiomatischen mengentheoretischen Aufbau der Mathematik dar. Darüber hinaus spielt die Kategorientheorie in der Logik, in der Theoretischen Informatik (Semantik von Programmiersprachen, Domaintheorie) und in der theoretischen Physik (topologische Quantenfeldtheorie, TQFT) eine Rolle.

Definitionen

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten:
  • einer Klasse Ob(C) von Objekten
  • je einer Menge MorC(X,Y) zu jedem Paar [Formel] von Objekten (auch mit HomC(X,Y) oder C(X,Y) bezeichnet); ihre Elemente heißen Pfeile oder Morphismen. Diese Mengen sind paarweise disjunkt, d.h. zu einem Morphismus f in Mor(X, Y), auch f: X → Y geschrieben, sind X (Quelle) und Y (Ziel) eindeutig bestimmt. Die Quelle eines Morphismus f wird auch mit dom(f) bezeichnet (englisch domain), das Ziel mit cod(f) (co-domain).
  • Verknüpfungsabbildungen
[Formel]
die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind:
[Formel]
  • einem Identitätsmorphismus idX: X → X zu jedem Objekt X, der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel X ist.
Die Klasse aller Morphismen wird auch mit Fl(C) bezeichnet.

Eine Unterkategorie einer Kategorie C ist eine Kategorie D, so dass Ob(D) eine Teilklasse von Ob(C) ist und für je zwei Objekte X und Y in D die Morphismenmenge MorD(X,Y) Teilmenge von MorC(X,Y) ist. Sind die Morphismenmengen von D gleich denen von C, ist D eine volle Unterkategorie. Eine volle Unterkategorie ist schon durch die Angabe der Objekte bestimmt.

Die duale Kategorie Cop zu einer Kategorie C ist die Kategorie mit Ob(Cop) = Ob(C) und

[Formel].
Die Verknüpfungsabbildungen und Identitätsmorphismen sind dieselben wie in C. Anschaulich gesagt zeigen in Cop alle Pfeile in die andere Richtung. Die Kategorie (Cop)op ist gleich C.

Ein (kovarianter) Funktor ist so etwas wie eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Kategorien. Ein Funktor F von einer Kategorie C in eine Kategorie D besteht aus den folgenden Daten:

  • eine Zuordnung F: Ob(C) → Ob(D)
  • Abbildungen F: MorC(X,Y) → MorD(F(X),F(Y)) für je zwei Objekte X, Y von C.
Die Abbildungen zwischen den Morphismenmengen müssen folgende Eigenschaften haben:
  • Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d.h. F(fg) = F(f)F(g).
  • Sie erhalten Identitätsmorphismen: F(idX) = idF(X).

Ein kontravarianter Funktor (oder Kofunktor) von C nach D ist ein Funktor Cop → D. Äquivalent dazu ist die Beschreibung wie oben, mit den folgenden Unterschieden:

  • Die Abbildungen auf den Morphismenmengen gehen von MorC(X,Y) nach MorD(F(Y),F(X)).
  • Die Kompatibilität mit den Verknüpfungen lautet F(fg) = F(g)F(f).

Sind C,D,E Kategorien und F: C → D sowie G: D → E ko- oder kontravariante Funktoren, so ist die Verkettung GF, die formal durch

[Formel]
für Objekte X und Morphismen f definiert ist, ein Funktor C → E. GF ist genau dann kovariant, wenn F und G beide ko- oder beide kontravariant sind, andernfalls kontravariant.

Natürliche Transformationen sind so etwas wie Abbildungen zwischen Funktoren. Sind F und G Funktoren von C nach D, so besteht eine natürliche Transformation t von F nach G aus Morphismen tX: F(X) → G(X) für jedes Objekt X von C, so dass für jeden Morphismus f: X → Y zwischen Objekten von C das folgende Diagramm kommutiert

Abbildung

Bildherkunft

Als Formel bedeutet das: tY F(f) = G(f) tX.

Natürlich äquivalent sind zwei Funktoren F und G von C nach D, wenn es natürliche Transformationen t: F → G und u: G → F gibt, so dass tu und ut jeweils die Identität sind. Anders formuliert: natürliche Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff in der Funktorkategorie. Eine natürliche Transformation t ist eine natürliche Äquivalenz genau dann, wenn tX für jedes X ein Isomorphismus ist.

Äquivalenz von Kategorien: Ein Funktor F: C → D heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn es einen Funktor G: D → C gibt, so dass FG und GF jeweils natürlich äquivalent zur Identität von D bzw. C sind. Man kann zeigen, dass Äquivalenzen von Kategorien genau die volltreuen, wesentlich surjektiven Funktoren sind.

Beispiele

Kategorien

Hinweis: die Bezeichnungen für spezielle Kategorien sind in der Literatur extrem uneinheitlich. Oft wird eine Beschreibung der Kategorie in runde oder geschweifte Klammern gesetzt, z.B. (Gruppen).
  • Set oder Ens, die Kategorie der Mengen:
    • Ob(Ens) ist die Klasse aller Mengen
    • zu zwei Mengen X,Y ist MorEns(X, Y) die Menge der Abbildungen von X nach Y
    • die Verknüpfung zweier Morphismen ist die Verkettung der Mengenabbildungen
    • der Identitätsmorphismus eines Objektes X ist die identische Abbildung idX : X → X.

  • Top, die Kategorie der topologischen Räume (Objekte) und stetigen Abbildungen (Morphismen). Eine interessante Unterkategorie ist beispielsweise die volle Unterkategorie der kompakten Hausdorffräume.

  • die Kategorie Grp der Gruppen mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen; weiter die volle Unterkategorie der abelschen Gruppen, die sehr konsequent mit Ab bezeichnet wird.

  • die Kategorie NLinSp der normierten linearen Räume mit den stetigen (=beschränkten) linearen Abbildungen. Unterkategorien sind z.B.: die Banachräume mit stetigen linearen Abbildungen (BanSp1), die Banachräume mit stetigen normreduzierenden Abbildungen (BanSp2), oder kommutative komplexe Banachalgebren mit Einheit und normreduzierenden Algebrenhomomorphismen (CBanAlg).

  • Eine Menge mit einer Halbordnung [Formel] bestimmt eine Kategorie: Objekte sind die Elemente der Menge, und Mor(a,b) habe genau ein Element (z.B. das geordnete Paar (a,b)), falls [Formel], und sei andernfalls leer.

  • Die Kategorie der kleinen Kategorien (Cat): Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Objekte eine Menge ist. Die Objekte von Cat sind die kleinen Kategorien und die Morphismen sind die Funktoren. (Die Beschränkung auf kleine Kategorien ist aus mengentheoretischen Gründen nötig.)

  • Sind C und D Kategorien, so kann man die Funktorkategorie Mor(C,D) bilden: Objekte sind Funktoren von C nach D, Morphismen sind natürliche Transformationen.

  • Ist C eine Kategorie und S ein Objekt von C, so ist die Kategorie C/S der Objekte über S wie folgt definiert: Objekte von C/S sind Morphismen in C mit Ziel S, und Morphismen von C/S sind Morphismen von C, die mit den "Strukturmorphismen" nach S verträglich sind, d.h. sind f: X → S und g: Y → S zwei Objekte von C/S, so sind Morphismen von (X,f) nach (Y,g) in C/S die Morphismen h von X nach Y, für die gh = f gilt.

  • Umgekehrt sei * ein fester einpunktiger topologischer Raum. Dann ist die Kategorie der topologischen Räume unter * isomorph zur Kategorie Top* der punktierten topologischen Räume.

Funktoren

Meist gibt man für Funktoren nur die Zuordnung der Objekte an, wenn die Abbildungen auf den Morphismenmengen daraus leicht zu ersehen sind.
  • Für ein Objekt T einer Kategorie C ist die Zuordnung
X [Formel] MorC(T,X)
ein (kovarianter) Funktor C → Set. Der Funktor
X [Formel] MorC(X,T)
ist kontravariant.
  • Es sei [Formel] ein Körper und [Formel] die Kategorie der Vektorräume über [Formel] mit den [Formel]-linearen Abbildungen als Morphismen. Es sei nun ein kontravarianter Funktor
[Formel]
wie folgt definiert:
  • Für ein Objekt [Formel] ist [Formel] der Dualraum von [Formel]
  • Für eine lineare Abbildung [Formel] ist
[Formel]
Man überprüft leicht, dass [Formel] und [Formel] gilt.
  • Gm: (Ringe) → (Gruppen): ordnet einem unitären Ring seine Gruppe der Einheiten zu. Allgemeiner: GLn: (Ringe) → (Gruppen): ordnet einem Ring die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen zu.
  • Die Fundamentalgruppe ist ein Funktor Top → Grp; die höheren Homotopie- sowie die Homologiegruppen sind Funktoren Top → Ab; die Kohomologiegruppen sind kontravariante Funktoren Top → Ab.
  • Vergissfunktoren: Es gibt offensichtliche Funktoren Ab → Set, Ab → Grp, Top → Set usw., die einfach einen Teil der Struktur "vergessen", d.h. einer abelschen Gruppe die zugrundeliegende Menge, einer abelschen Gruppe sich selbst (aber ohne die Information, dass sie abelsch ist), einem topologischen Raum die zugrundeliegende Menge usw. zuordnen.

Natürliche Transformationen

  • Die Bezeichnungen seien wie im Beispiel des Funktors "Dualraum" oben. Die Abbildungen
[Formel]
eines Vektorraumes in seinen Bidualraum bilden eine natürliche Transformation
[Formel]
Auf der vollen Unterkategorie der endlichdimensionalen Vektorräume ist [Formel] eine natürliche Äquivalenz.
  • det: GLn → Gm: Für einen Ring R ist detR der Gruppenhomomorphismus GLn(R) → R×, die Determinante.
  • Die Hurewicz-Abbildung
[Formel]
[Formel]

Yoneda-Lemma und universelle Konstruktionen

Universelle Konstruktionen übertragen einfache Begriffe aus der Kategorie der Mengen auf beliebige Kategorien.

Das Yoneda-Lemma

Es sei C eine Kategorie. Der Funktor
[Formel]
der einem Objekt X den Funktor
[Formel]
zuordnet, ist volltreu. Allgemeiner gilt für Objekte X von C und F von Mor(Cop,Set):
[Formel];
einer natürlichen Transformation t: hX → F wird dabei tX(idX) zugeordnet (man beachte hX(X) = MorC(X,X)).

Strukturtransfer

Das Yoneda-Lemma erlaubt es, Begriffe, die aus der Kategorie der Mengen geläufig sind, auf beliebige Kategorien zu übertragen. Beispielsweise kann man ein Produkt von Objekten Xi definieren als ein Objekt P, für das h(P) objektweise das kartesische Produkt der h(Xi) ist, d.h. dass
[Formel]
gilt; dabei meint [Formel] eine natürliche Äquivalenz von Funktoren in T. Diese Äquivalenz liefert für T = P als Entsprechung von idP auch Morphismen pri: P → Xi. Das Yoneda-Lemma zeigt dann, dass P bis auf kanonische Isomorphie eindeutig bestimmt ist: sind Mor(_,P) und Mor(_,Q) via t natürlich äquivalente Funktoren, so sind P und Q via tP(idP) isomorph.

"Universell" ist dieses kategorielle Produkt in dem folgenden Sinn: wann immer man Abbildungen fi: T → Xi gegeben hat, kommen diese von den universellen Abbildungen pri: P → Xi her, d.h. es gibt eine Abbildung c: T → P, so dass fi = pri c gilt.

Außerdem kann man zu jeder derart gewonnenen Konstruktion die duale Konstruktion bilden (meist durch eine Vorsilbe "Ko" gekennzeichnet), indem man zur dualen Kategorie übergeht. Beispielsweise ist das Koprodukt von Objekten Xi in einer Kategorie C dasselbe wie das Produkt derselben Objekte Xi in der dualen Kategorie Cop.

Entsprechend können auch Eigenschaften von Mengenabbildungen auf beliebige Kategorien übertragen werden: beispielsweise ist ein Morphismus X → Y ein Monomorphismus, wenn h(X) → h(Y) objektweise injektiv ist. Man beachte: Epimorphismus ist der duale Begriff zu Monomorphismus, jedoch die Entsprechung zu surjektiven Mengenabbildungen ist der Begriff Retraktion.

Spezielle universelle Konstruktionen bzw. Begriffe

Anmerkungen

Zu einem anderen allgemeinen Zugang zu mathematischen Strukturen siehe Algebraische Struktur.

Mathematical Subject Classification (2000): 18-XX (mit homologischer Algebra in 18Gxx)

Siehe auch: Homologische Algebra sowie Kategorie (Allgemeinbegriff) und Kategorie in der Philosophie

Literatur

Einführungen sind:
  • F. W. Lawvere, S. H. Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories, Cambridge, 1997. ISBN 0-521-47817-0 (hardback ISBN 0-521-47249-0)
  • Michael A. Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative, Academic Press, 1975.

Klassische Lehrbücher sind:

  • J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories, John Wiley (1990)
  • MacLane, Saunders: Kategorien : Begriffssprache und mathematische Theorie, Berlin, 1972, vii, 295 pp. -- (Categories for the Working Mathematician <1971, deutsch>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
  • Mac Lane, Saunders: Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer, 1998, ISBN 0-387-98403-8
  • Herrlich, Horst; Strecker, George E.: Category Theory. An Introduction, Boston, 1973
  • Schubert, Horst: Kategorien I/II, Springer, 1970.
Ein Nachschlagewerk ist:
  • Borceux, Francis: Handbook of categorical algebra, 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). -- Cambridge, 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3

Ein Sammelband ist:

  • W Gähler & G Preuss : Categorical Structures and their Applications, World Scientific, 2004. ISBN 981-256-053-X

Siehe auch

Tabelle mathematischer Symbole

Weblinks

Diskussion der Autoren über den Artikel: Kategorientheorie

Kommentare zu einer alten Version

Ich habe die Beispiele

  • ein Beispiel aus der Informatik ist [Formel], die Menge aller in einer vorgegebenen Programmiersprache verfügbaren Datentypen als Objekte und die Funktionen als Morphismen. Ein verwandtes Beispiel sind die XML-Dokumente als Objekte und XSL-Transformationen als Morphismen.

gelöscht. Das mit den Programmiersprachen und Funktionen ist völlig daneben, die XSL Transformationen sind nicht assoziativ !!!

Bemerkungen

  1. Statt »Die Grundbegriffe dieser Arbeit sind Kategorie, Funktor und natürliche Transformation. Um den letzteren Begriff zu präzisieren, wurden die anderen eingeführt.« muß es natürlich heißen: » Die Grundbegriffe (sc. dieser Theorie) . . . «
  2. Es ist dann weiter von einem »Jargon zum Ausdrücken verschiedener mathematischer Theorien« die Rede: das scheint mir nicht so glücklich, sowohl stilistisch wie inhaltlich.
  3. Ein Aspekt der Kategorientheorie ist es, gewisse Sachverhalte wie etwa universelle Konstruktionen in adäquaterer Form darzustellen, als dies mit den Mitteln der Mengenlehre und universellen Algebra möglich ist (man vergleiche die umständlichen Konstruktionen Bourbakis im 4. Kapitel der Théorie des Ensembles).
  4. In erster Linie aber dient sie dazu, wie schon im Ausgangsfall der algebraischen Topologie, verschiedenartige Strukturen in einen Zusammenhang zu stellen, in dem sie deutlicher gesehen und bearbeitet werden können. Hier wird nicht von Strukturen »abstrahiert«, vielmehr werden sie verdeutlicht.
  5. Was das folgende bedeuten soll, ist mir schleierhaft: »Da der Begriff Morphismus ohne die Notation der Mengenlehre verwendet wird, bietet die Kategorientheorie eine weitreichende Verallgemeinerung des Funktionenbegriffs, die sie auch für computerwissenschaftliche Disziplinen wie die Algorithmik interessant macht.« Es gibt informatische Anwendungen, aber wirklich deshalb, weil die Kategorientheorie »elementfrei« argumentiert? Nicht aus den o.a. Gründen?
  6. Es ist schon richtig, daß man den Begriff des Morphismus als eine Verallgemeinerung des Abbildungsbegriffes ansehen kann, allerdings ist der Abbildungsbegriff auch schon sehr allgemein, insofern ist dies hier irreführend. Es werden ja nicht alle Abbildungen betrachtet, sondern nur solche, die für die betreffende Struktur irgendwie spezifisch sind; wenn man sich dies vor Augen führt, ist der Schritt zum kategorientheoretischen Morphismus nicht mehr so groß. Die Verallgemeinerung liegt m. E. eher darin, daß man den Transformationscharakter der Abb. vernachlässigt, ungefähr so, wie man in der Gruppentheorie von Transformationsgruppen zu abstrakten Gruppen gekommen ist.
  7. Aus dem Abschnitt »Begriffe« wurden die doch sehr wichtigen Begriffe Morphismus und natürliche Transformation entfernt um weiter unten eine m. E. wenig hilfreiche Behandlung zu erfahren.
  8. Die Definition ist mißlungen, es heißt z. B. »Eine Kategorie besteht aus zwei Teilen: zum einen eine Klasse von Objekten und zum anderen eine Klasse von Pfeilen (oder Morphismen) zwischen diesen Objekten.« Im Vordergrund sollten aber die Morphismen stehen (bekanntlich kann man auf die Objekte verzichten, sie dienen nur der sprachlichen Bequemlichkeit). Des weiteren: »Die Morphismen müssen verknüpfbar sein«, davon kann aber i.A. gar keine Rede sein. -- Grundsätzlich glaube ich nicht, daß es gut ist, die Def., wie hier geschehen, einleitend erst noch zu paraphrasieren.
  9. Die Beispiele sind aus dem Inhaltsverzeichnis verschwunden, das Beispiel mit der Relation ist falsch (sie muß auch transitiv sein), ähnlich für Graphen (MacLane, II.7. spricht von einer »Präkategorie«).
  10. Die folgenden Abschnitte sind mehr oder minder mißglückt, so ist mir neu, daß Isomorphie »[e]in Kernbegriff der Kategorientheorie« ist, im Gegensatz zu Funktor etwa, oder daß kleine Kategorien so zentral sind, daß es lohnt, ihnen einen langen Abschnitt zu widmen.
  11. Eine universelle Konstruktion heißt so, nicht weil sie »für eine Vielzahl von Kategorien verfügbar« ist, sondern weil sie Gegenstände (universelle Pfeile, universelle Elemente) liefert, die eine »universelle Eigenschaft« in dem Sinne haben, daß jeder geeignete Pfeil darüber faktorisiert, etc. Bsp. freie Gruppe, Tensorpodukt, u.v.a.m., vgl. MacLane (III.1).
Usw. . . Ptrs 23:34, 3. Jul 2004 (CEST)

  1. Der deutschsprachige Begriff für "Equalizer" ist Differenzkern, der für "Kernel" Kern.--Unknown

Ich würde schon zustimmen, dass Isomorphie von zentraler Bedeutung ist, aber dann sollte man wenigstens erwähnen, dass Funktoren Isomorphismen erhalten...--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Überarbeitung

Habe angefangen, den Artikel zu überarbeiten. Momentan ist der Artikel viel zu lang, und manches gibt es schon als separate Seite (Produkt (Mathematik), Morphismus). Adjunktion kann man problemlos abtrennen, auf die jeweiligen universellen Konstruktionen kann man verweisen. Kommentare soweit?--Gunther 21:45, 25. Feb 2005 (CET)

Evtl. sollte man den Abschnitt "Yoneda und Universelles" in einen eigenen Artikel verschieben, der dann auch so etwas wie "eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus" erklärt.--Gunther 14:37, 26. Feb 2005 (CET)

To-Do-Liste

Sammelstelle für Begriffe, die noch erklärt werden müssen.--Gunther 00:26, 26. Feb 2005 (CET)

  • natürliche Äquivalenzen
  • Äquivalenzen von Kategorien
  • volltreue Funktoren
  • zumindest die Hom-Funktoren ausfuehrlich hinschreiben
  • Unter- und Quotientenobjekte

Lost & Found

  • Weiß jemand, was Reflektionen und Coreflektionen sind? Waren in der alten Fassung ohne Definition erwaehnt, habe ich geloescht.--Gunther 00:37, 26. Feb 2005 (CET)
  • "Falls es für jede Familie von Objekten einer kleinen Kategorie ein Produkt gibt, dann ist die Kategorie isomorph zu einem vollständigen Verband." Wahr oder falsch?--Gunther 01:26, 26. Feb 2005 (CET)
Wenn Mor(A,B) für alle Objekte A,B maximal ein Element besitzt, und die Antisymmetrie erfüllt ist...
  • Zitat:
Man betrachte die Kategorie [Formel] der Banach-Lie-Poisson-Räume und die Kategorie [Formel] der Banach-Lie-Algebren mit Prädual. Dann sind die Objekte in BLP die Banach-Lie-Poisson-Räume und die Objekte in BLA Banach-Lie-Algebren, zu welchen (nicht notwendigerweise eindeutige) präduale Räume existieren. Sei weiter [Formel] ein Morphismus von einem BLP-Raum in eine BLA und [Formel], dann gibt es einen kontravarianten Funktor [Formel], definiert durch [Formel] und [Formel]
Kopiert aus Funktor von --Gunther 16:25, 20. Mär 2005 (CET)

Hallo, Kategorien-Experten!

Zwar bin ich nicht älter als der Begriff "Kategorie", aber in meinem Mathematik-Studium (in den 1960ern) tauchte der doch erst etwas drohend am Rande auf - selbst für Logiker, zu denen ich mich zähle. Nun hab ich irgendwo in wikepedia gelesen, er sei auch für die Logik grundlegend, und denke, ich muss mich da reinarbeiten.

Den Artikel "Vorschau" habe ich gelesen und Einiges verstanden, den Rest auf später, wenn ich besser Bescheid weis, verschoben.

Nun aber geht's los:

"eine Klasse Ob(C) von Objekten": Warum wird der erste präzise Begriff in diesem Artikel nicht mit einem einfachen Buchstaben eingeführt? - Wenn, was ich vermute, "Ob" die Klasse meint, was meint dann "C"? Ist "C" vielleicht die zugrundeliegende Kategorie? - Das wird nirgends erwähnt!

Warum ist von einer "Klasse" die Rede, und nicht von einer "Menge"? Was ich in wikipedia unter Klasse (Mengenlehre) finde, scheint mir ganz obskur. Werde ich es mal besser verstehen, wenn ich ich durch die Kategorien-Seiten gebissen habe? - Dann dürfte "Klasse" aber nicht undefiniert am Anfang dieses ganzen Bereichs stehen!

Soweit heute, weitere Fragen, wenn ihr diese beantwortet habt. -- Peter Steinberg 02:08, 13. Apr 2005 (CEST)

Ja, C ist die Kategorie, ist geändert. Klasse (Mengenlehre) ist etwas chaotisch, gebe ich zu. Eine Klasse ist wie eine Menge, nur darf eine Klasse "größer" sein. Jede Menge ist eine Klasse. Man darf die Klasse aller Mengen bilden, während die Menge aller Mengen ja verboten ist, genauso wie die Klasse aller Klassen. Das ist für die Definition der einzig relevante Punkt hier. Deshalb darf man die Kategorie aller Mengen bilden, aber nicht die Kategorie aller Kategorien.
Klasse ist ein Begriff aus der Mengenlehre, den wirst Du also auch hier nicht erklärt bekommen. Man kann die Mengenlehre auch anders aufbauen, dann müsste man hier über Universen reden, aber der Zugang mit der Unterscheidung Menge/Klasse ist üblicher. Ich werde Klasse (Mengenlehre) zu den Überarbeitungswürdigen hinzufügen.
Wenn es diese ganzen mengentheoretischen Probleme nicht gäbe, könnte man sagen: Eine Kategorie ist ein geordnetes Tripel, das aus der Objektmenge, den Morphismenmengen (als System von Mengen, das von Paaren von Objekten indiziert ist) und dem System der Verknüpfungsabbildungen (indiziert durch Tripel von Objekten) besteht. (Aber n-Tupel echter Klassen sind eine haarige Angelegenheit.)--GuntherGunther 02:54, 13. Apr 2005 (CEST)

Heute bin ich mal wieder dazu gekommen, mich etwas mit den Kategorien zu beschäftigen. Schönen Dank erstmal für die Auskunft. Das Klassen/Mengen-Problem kann ich ganz gut auf sich beruhen lassen. Nun knabber ich an den Definitionen. Da steht als als zweiter Spiegelstrich:
"eine Menge MorC(X,Y)... zu je zwei Objekten X und Y;..." (Hervorhebung von mir). Durch intensives Nachdenken (und mit Gunther obigen Hinweisen) komme ich darauf, dass es sich wohl keineswegs um eine Menge handelt, sondern, wenn Obj(C) die Mächtigkeit n hat, um n² Mengen. Richtig? - Wenn ja, sollte es dann nicht vielleicht besser heißen: "zu jedem Paar (X,Y) von Objekten aus Obj(C) eine Menge MorC(X,Y)..."?
Außerdem verwirren mich die Begriffe "dom" und "cod" in dieser Definition. Bei "dom" gibt es bei mir noch so eine Assoziation zu "domain", was wohl der englische Ausdruck für Definitionsbereich ist. Daraus erahne ich, dass "cod" wohl für den Wertebereich stehen muss. Die Wörter "Quelle" und "Ziel" deuten ja auch in diese Richtung. Nur, wofür bitte, steht das Kürzel "cod"?
Wenn ich mir in diesen Fragen sicher bin, will ich dann darüber nachdenken, wie aus der Eindeutigkeit von "dom(f)" und "cod(f)" folgt, dass die Morphismenmenge disjunkt sind... -- Peter Steinberg 00:17, 22. Apr 2005 (CEST)

Habe den zweiten Punkt umformuliert. dom und cod ("codomain") sind eher Notationsballast, sie werden im weiteren nicht verwendet.--Gunther 00:59, 22. Apr 2005 (CEST)

Wow, da wird ja mächtig an dem Artikel gearbeitet! - Die zweite Definition ist mir jetzt wirklich viel zugänglicher! Vielen Dank! -- Peter Steinberg

Im Augenblick bin ich nicht bei den Definitionen (wo es mir schwer fällt, weiter zu kommen), sondern wieder mal an der Einleitung. Meine Frage für heute: Lässt sich "Topos" etwas brauchbarer verlinken? - Die BKS führt mich eigentlich (außer auf "Mathematik") nur auf Informatik und Datenbanken - wo ich aber unmittelbar zu meinem Problem nichts finde. -- Peter Steinberg 02:01, 24. Apr 2005 (CEST)

Es gibt zwei Topos-Begriffe, einerseits Grothendieck-Topoi, das sind Kategorien von Garben auf einem Situs. Der andere, "fast äquivalente" Begriff ist der für die Logik relevante. Wenn ich das richtig verstehe, ist ein derartiger Topos definiert als eine kartesisch abgeschlossene Kategorie mit endlichen Limites und Unterobjektklassifizierern (oder wie das auch immer auf deutsch heißt). Zu Grothendieck-Topoi könnte ich etwas schreiben, für die allgemeinen (Logik-)Topoi fühle ich mich nicht kompetent. Es gibt allerdings dazu schon :en:topos.--Gunther 02:15, 24. Apr 2005 (CEST)

zur Definition

Es müsste heißen: Je einer Klasse Morc(A,B) ... (vgl. z.B. engl. Artikel)

Eine Kategorie, in der alle Morc(A,B) Mengen sind, nennt man lokal klein.

Ist das so verbreitet, dass man das in der Hauptdefinition sagen sollte? Die mir geläufige Definition ist wie im Artikel. Z.B. ist Hom dann auch ein Bifunktor in die Kategorie der Mengen, ansonsten müsste man da immer "lokal klein" dazusagen.--Gunther 3. Jul 2005 16:49 (CEST)

Für viele kategorientheoretische Begriffe ist es völlig unerheblich ob es sich um Klassen oder Mengen handelt. Deshalb ist die Einschränkung auf Mengen nicht notwendig. Es gibt sogar Autoren, die ganz allgemein von "Kollektionen" reden. Andererseits sind sehr viele Kategorien, die in der Mathematik so auftauchen, lokal klein, was wiederum die Erweiterung auf Klassen ein bisschen obsolet macht. Das Yoneda-Lemma ist ein sehr gutes Beispiel für eine zentrale Thematik bei der es wichtig ist, dass es sich um lokal kleine Kategorien handelt. Ich denke, die Frage ist eher: was will der Autor? Wenn man fast ausschließlich mit lokal kleinen Kategorien zu tun hat, ist es zweckmäßig, Kategorien so zu definieren, weil man wie oben gesagt, sonst immer "lokal klein" dazusagen müsste, oder so etwas wie "In diesem Kapitel betrachten wir nur lokal kleine Kategorien." Allerdings finde ich es durchaus wichtig, dass auf diese Einschränkung hingewiesen wird, da man sonst den Eindruck vermittelt, es sei für Kategorien allgemein wichtig, dass es sich bei Morc(A,B) um Mengen handelt.

Desweiteren sollte man sich vielleicht überlegen, in wie weit man verschiedensprachige Artikel aufeinander abstimmen möchte.

Darf ich mal ganz blöd nach einem praktischen Beispiel für eine Kategorie fragen, die nicht lokal klein ist?--Gunther 17:25, 15. Jul 2005 (CEST)

Woher kommt die obige Definition von "lokal klein"? Schubert (Kategorien I, S. 87) definiert "lokal klein" anders, nämlich so, daß die Unterobjekte eines Objekts eine Menge bilden. Das steht nicht im Widerspruch dazu, daß die Pfeile Mengen sind. --84.59.210.221 20:08, 29. Jul 2005 (CEST)

von großen, kleinen, winzigen und anderen Kategorien

Also das mit praktischen Beispielen ist immer so 'ne Sache, aber nachdem ich die amüsante Diskussion oben gelesen habe, mag ich auch ein bisschen Senf hinzugeben.

Nach sehr kurzer recherche bin ich auf ein Beispiel einer nicht lokal kleinen Kategorie gestoßen, allerdings würde ich dieses nicht praktisch nennen: Im Kontext der Mengenlehre betrachten wir Bijektionen auf Mangen, und setzen sie auf den Rest des Universums mit der Identität fort. Das Ganze bildet eine "Gruppe" mit ganz fürchterlich vielen Elementen, und somit eine nicht lokal kleine Kategorie.

Zu einer Frage in der obigen Diskussion: lokal klein ist für "praktische" Zwecke nahezu gar keine Einschränkung, aber dennoch ein absolut gängiger Begriff. Aber bei "praktischen" Zwecken schert man sich eh nicht sonderlich um die Größen.

Naja, die algebraischen Geometer wären schon ziemlich unglücklich, wenn sie jedesmal das Universum wechseln müssten, wenn sie einen Hom-Funktor hinschreiben...--Gunther 14:14, 29. Jul 2005 (CEST)

Grothendieck hatte damit keine Probleme

Abbildung

Bildherkunft
. -- Nogartse 23:30, 10. Aug 2005 (CEST)

Grothendiecks U-Kategorien sind genau die lokal kleinen Kategorien, wenn man sich U als Klasse aller Mengen vorstellt (was natürlich nicht erlaubt ist, weil U eine Menge ist).--Gunther 23:37, 10. Aug 2005 (CEST)

Eben. Set ist lokal klein, passt aber nicht in ein Universum. Ein U ist aber möglicherweise ein inneres Modell einer von Mac Lane vorgeschlagenen Mengenlehre mit "beschränkten" Quantoren, die zu einem Topos "gehört".

-- Nogartse 23:59, 10. Aug 2005 (CEST)

Ich verstehe leider nur noch Bahnhof. Alles, was ich sagen wollte, war: Wäre (Schemata) nicht lokal klein, wäre es nervig, weil dann Hom(–,X) nicht mehr einfach ein Funktor (Schemata) -> (Mengen) wäre, sondern man müsste anfangen, sich mit Universen herumzuschlagen. Dass das dann doch nötig wird, wenn man die Kategorie aller Funktoren (Schemata) -> (Mengen) betrachten will, steht auf einem anderen Blatt.--Gunther 00:12, 11. Aug 2005 (CEST)

"Modell" ist ein Begriff aus der Logik. Eigentlich wollte ich nur ausdrücken, dass die Beschränkung auf U-Kategorien für Universen U vermutlich deshalb keine wesentliche Einschränkung gegenüber der Betrachtung von Set-Kategorien (also lokal kleinen Kategorien) mit sich bringt, weil für Universen eine abgeschwächte Version der Axiome der Mengenlehre gelten. Wenn man alg. Geometrie nicht nur mengenth. "naiv" betreiben möchte, führt m.E. sowieso kein Weg an Universen vorbei. Eine Bemerkung zu deinem schönen Artikel über Topoi: Grothendieck-Topoi sind spezielle elementare Topoi, vielleicht sollte deshalb zuerst der allgemeine Begriff und dann als Spezialfall der Begriff des G-Topos vorgestellt werden, anstatt von "eng verwandeten Ausprägungen" zu sprechen.

-- Nogartse 18:33, 11. Aug 2005 (CEST)

Jaja, zu Topoi sollte ich eigentlich besser nichts schreiben, tu Dir keinen Zwang an und mach' einen vernünftigen Artikel daraus... Algebraische Geometrie "vor" Situs und Topoi sollte mengentheoretisch harmlos sein, also wenn es nur um die Darstellbarkeit eines einzelnen Hom-Funktors geht, denn dann konstruiert man ja in der Regel eine Bijektion [Formel] für jedes [Formel], und diese Bijektionen erfüllen gewisse Kompatibilitäten. Die Funktoren werden also nicht als Objekte benötigt, sondern nur als Formeln. Oder?--Gunther 19:18, 11. Aug 2005 (CEST)

Solange Aussagen über einen Funktor F in Aussagen über F(T) für beliebiges T übersetzt werden können, kann man die Rede von F in der Tat als bloße Sprechweise auffassen. Das Vorgehen scheitert erst dann, wenn etwa Funktorkategorien betrachtet werden.

Bei der Aussage über Universen dachte ich an die Picardgruppe eines geringten Raums, deren Elemente Isomorphieklassen sind. Wenn man etwas präziser nur ein Repräsentantensystem von Isomorphieklassen lokal freier Garben nimmt, dürfte die Konstruktion aber innerhalb von NBG möglich sein.

Zu dem Artikel über Topoi: Die technische Definition hinzuschreiben ist kein Problem, schwieriger ist es, auf knappen Raum darzustellen, wie man ausgehend vom G-Topos überhaupt auf der Idee verfallen kann, Topoi seien ein geeineter Ersatz für Set, das Mengenuniversum. Vielleicht darüber, dass die internen abelschen Gruppen eines G-Topos eine abelsche Kategorie bilden, also ein "Ersatz" für die abelschen Gruppen in Set sind, und so der Topos als "Ersatz" für Set aufgefasst werden kann.

-- Nogartse 21:49, 14. Aug 2005 (CEST)

Wie gesagt: Es wäre schön, wenn jemand etwas zu Topoi schreiben könnte, und ich bin dafür definitiv nicht geeignet. Mithilfe der Beschreibung durch Kozykel kann man ziemlich leicht zeigen, dass es eine Menge von Vertretern für die Isoklassen von Geradenbündeln gibt.--Gunther 14:17, 20. Aug 2005 (CEST)

Initial- und Finaltopologie

Ich habe in den letzten Tagen die Artikel Initialtopologie und Finaltopologie geschrieben und würde dort gern etwas weniger schwammig erklären, warum die Dinger so heißen. Um mich da nicht hoffnungslos zu verformulieren (die englischen Artikel und gehen in dieser Beziehung - Vergiss-Operator... - schon deutlich über meine Hutschnur) bitte ich um eine Handreichung. Vielleicht könnt Ihr (Kategoriker) ja die Artikel auch irgendwo als Beispiel brauchen? --KleinKlio 03:05, 7. Okt 2006 (CEST)

P.S. In den Artikeln Initialtopologie und Finaltopologie ist der Bezug zu den Kategorien jeweils durch 3. in /*Definition*/ und /*Bemerkungen*/ hergestellt. --KleinKlio 03:10, 7. Okt 2006 (CEST)

Ohne Vergissfunktor geht es nicht, man will ja über die zugrundeliegende Menge sprechen. Wie im englischen Artikel ja auch schon fast steht, kann man die [Formel] durch ihr Produkt ersetzen, damit reduziert sich der technische Aufwand etwas, dann braucht man keine Kommakategorien mehr, es genügen die Kategorien der Objekte über [Formel] bzw. [Formel]. Ist [Formel] ein Raum und [Formel] eine Menge, dann sagt die universelle Eigenschaft der Initialtopologie auf [Formel] (nennen wir den Raum [Formel]), dass die Menge der Morphismen von [Formel] nach [Formel] über [Formel] und die Menge der Morphismen von [Formel] nach [Formel] über [Formel] übereinstimmen, d. h. dass [Formel] rechtsadjungiert zu [Formel] ist.
Allerdings sehe ich kein initiales Objekt.--Gunther 10:48, 7. Okt 2006 (CEST)

Danke, Gunther. Ich habe es bis jetzt trotzdem noch nicht gebacken gekriegt und sehe das Inital- und Final- (im Kategoriensinn) auch nicht klar. Schau Dir gelegentlich mal die erwähnten Stellen vor allem in Bemerkungen*/ 3. an und poste mir hier, wenn Du sie zu wolkig, nichtssagend oder falsch findest. Mit "dual" meinte ich eigentlich nur ganz naiv, man dreht halt den Abbildungsgraphen rum. Wenn beides im Kategoriesinn nicht habhaft ist (sowohl "Inital/Final" als auch "dual"), dann schmeiß ich das raus und deute da lieber an, wie man die Eigenschaft beweistechnisch anwendet. --KleinKlio 18:16, 20. Okt. 2006 (CEST) P.S.: Intuitiv würde ich das Initial/Final im Verband der Topologien suchen, (Vergiss also, was Topologie bedeutet und betrachte die Abbildungen auf den Potenzmengen...)


Diese Definition bzw. Erklärung des Begriff Kategorientheorie und dessen Bedeutung wurde zuletzt am 25.7.2007 aktualisiert (Glossar Lexikon Enzyklopädie).