Kompakter Raum

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kompakter Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

ist Spezialfall von

topologischer Raum

parakompakter Raum
Lindelöf-Raum

umfasst als Spezialfälle

normaler Raum

Kompaktheit ist eine rein topologische Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokale Kompaktheit ist dagegen eine weder über- noch untergeordnete Bedingung.

Eine kompakte Menge nennt man je nach Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum; dabei ist nicht erheblich, ob sie Teilmenge eines Oberraums ist oder nicht.

Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums [Formel] wie das Intervall (bei n=1) oder dessen Verallgemeinerung, der n-dimensionale Hyperwürfel ⁿ. Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten Mengen [Formel] oder 0,1[.

Der Begriff Beschränktheit setzt jedoch eine Metrik voraus. Kompaktheit kann man dagegen in einer abstrakteren Weise definieren, die nicht mehr als eine beliebige Topologie voraussetzt.

Beweggrund für die Kompaktheit

Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht endlichen Mengen ähnlich sind. Anders gesagt gibt es viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise aber mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Dies kommt in der Aussage „Kompaktheit ist neben der Endlichkeit die beste Eigenschaft“ zum Ausdruck. Hier ein Beispiel:

Wir setzen voraus, dass [Formel] ein Hausdorff-Raum ist und wir einen Punkt [Formel] aus [Formel] und eine endliche Teilmenge [Formel] von [Formel] haben, die [Formel] nicht enthält. Dann können wir [Formel] und [Formel] durch Umgebungen trennen: für jedes [Formel] aus [Formel] seien [Formel] und [Formel] disjunkte Umgebungen, die jeweils [Formel] und [Formel] enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller [Formel] und die Vereinigung aller [Formel] die benötigten Umgebungen von [Formel] und [Formel].

Man muss jedoch beachten, dass wenn [Formel] nicht endlich ist, der Beweis nicht mehr gilt, da der Schnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Der Beweis kann jedoch „gerettet“ werden, wenn [Formel] kompakt ist: dann kann man einfach eine endliche Teilüberdeckung der Überdeckung [Formel] von [Formel] verwenden. Auf diese Weise ist ersichtlich, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt durch eine Umgebung von jeder kompakten Mengen, in der er nicht enthalten ist, getrennt werden kann. Letztendlich zeigt eine Wiederholung des Beweises, dass zwei beliebige disjunkte kompakte Mengen eines Hausdorff-Raums durch Umgebungen getrennt werden können. Man beachte dass dies genau das gleiche Ergebnis ist, das man erhält, wenn man „Punkt“ (d.h. einpunktige Menge) durch „kompakte Menge“ im hausdorffschen Trennungsaxiom T₂ ersetzt. Viele Beweise und Sätze, die kompakte Räume betreffen, folgen diesem Muster.

Definition

Ein topologischer Raum [Formel] heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

[Formel], [Formel] offen in [Formel]

eine endliche Teilüberdeckung

[Formel]

besitzt.

Eine Teilmenge [Formel] eines topologischen Raums [Formel] heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung

[Formel], [Formel] offen in [Formel],

eine endliche Teilüberdeckung

[Formel]

besitzt.

Die beiden Begriffe sind kompatibel: Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann kompakt, wenn sie als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie kompakt ist.

Bemerkung: Einige Autoren verwenden für die hier definierte Eigenschaft den Begriff quasi-kompakt und reservieren den Begriff "kompakt" für kompakte Hausdorff-Räume; dies ist durch die französische Prägung insbesondere in der algebraischen Geometrie üblich.

Beispiele

Die folgenden Räume sind kompakt:

Das geschlossene Einheits-Intervall [0,1] (jedoch nicht das halboffene Intervall 0,1[ ).
Die n-Kugel, für alle natürlichen Zahlen n.
Die n-Sphäre, ebenfalls für alle natürlichen Zahlen n.
Jeder beliebige endliche topologische Raum.
Die Cantor-Menge.
Die p-adischen ganzen Zahlen, für jede Primzahl p.
Für die natürliche Zahl p betrachte die Menge p^N aller Folgen mit Werten aus {0,1,...,p-1}. Man kann sie in einen metrischen Raum verwandeln, indem man d((x_n),(y_n)) = 1/(p^k) definiert, wobei k der kleinste Index ist, so dass x_k ≠ y_k (falls es keinen solchen Index gibt, so sind die beiden Folgen identisch und man definiert ihren Abstand als Null). Dann ist p^N ein kompakter Raum, eine Folgerung aus dem Satz von Tychonoff (siehe unten). Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für {0,1,...,p-1}. Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar ultrametrisch. Verwandte Mengen sind folgende:

Ist p=2, dann ist die Abbildung [Formel] ein Homöomorphismus von 2^N in die Cantor-Menge.
Ist p eine Primzahl, dann ist die Abbildung [Formel] ein Homöomorphismus von p^N in die p-adischen ganzen Zahlen.

Das Spektrum eines beliebigen stetigen linearen Operators auf einem Hilbertraum ist eine kompakte Teilmenge von C.
Das Spektrum eines beliebigen kommutativen Ringes oder einer booleschen Algebra.
Der Hilbert-Würfel.

Die folgenden Räume sind nicht kompakt:

das halboffene Intervall 0,1).
die Menge [Formel] aller reellen Zahlen.
die Menge [Formel] aller ganzen Zahlen.
Jedes echte Intervall (also mit mehr als einem Punkt) in der Menge der rationalen Zahlen [Formel].
Die abgeschlossene Einheitskugel des Raumes [Formel] der beschränkten reellen Zahlenfolgen (siehe Lp-Raum), obwohl sie abgeschlossen und beschränkt ist. Dies gilt allgemein für die Einheitskugel in beliebigen unendlichdimensionalen Banachräumen.

Eigenschaften

Einige Sätze beziehen sich auf Kompaktheit (siehe Topologie-Glossar für Definitionen):

Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine stetige Funktion auf einem Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an.

Eine stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist gleichmäßig stetig. Diese Aussage ist auch als Satz von Heine bekannt.

Jede unendliche Folge [Formel] von Elementen einer kompakten Menge [Formel] besitzt einen Häufungspunkt. Schärfer: Es existiert eine in [Formel] konvergente Teilfolge [Formel]. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen [Formel] mit der Ordnungstopologie.)

Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.

Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen.

Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch Supremum, Infimum).

Für jede Teilmenge M des euklidischen Raumes Rⁿ sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche Satz von Heine-Borel):

M ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung.
Jede Folge in der Menge M hat eine in M konvergente Teilfolge.
Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt.

Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und total beschränkt ist.

Das Produkt einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt in der Produkttopologie. (Satz von Tychonoff -- dies ist äquivalent zum Auswahlaxiom)

Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal.

Jede stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus.

Ein metrischer Raum (oder allgemeiner, ein Raum, der dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügt) ist kompakt genau dann, wenn jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat.

Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.

Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.

Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert.

Ein topologischer Raum kann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden genau dann, wenn er ein Tychonoff Raum ist.

Jeder topologische Raum X ist ein dichter Unterraum eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als X. (Siehe auch Kompaktifizierung.)

Ein metrischer Raum X ist kompakt genau dann, wenn jeder zu X homöomorphe metrische Raum vollständig ist.

Falls der metrische Raum X kompakt ist und eine offene Überdeckung von X gegeben ist, dann existiert eine Zahl δ > 0, so dass jede Teilmenge von X mit Durchmesser < δ in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Zahlen-Lemma von Lebesgue)

Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)

Zwei kompakte Hausdorff-Räume X₁ und X₂ sind homöomorph genau dann, wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen C(X₁) und C(X₂) isomorph sind.

Andere Formen von Kompaktheit

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen:

Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.

Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Abdeckung hat eine endliche Unterabdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen ω-Häufungspunkt.)

Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.

Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

Kompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.

Siehe auch: Topologie-Glossar

Diskussion der Autoren über den Artikel: Kompakter Raum

Habe das Label p-adische Zahlen zu dem Beispiel verschoben, das tatsaechlich den entsprechenden metrischen Raum angibt (bis auf eine minimale Anpassung der Metrik). Dabei habe ich die Behauptung gelöscht, dass die p-adischen Zahlen homoeomorph zu einer Cantor-Menge sind. Ich hoere sie hier zum erstenmal, sehe aber nicht ohne weiteres, ob sie wahr oder falsch ist. Referenzen?--Gunther 12:26, 24. Feb 2005 (CET)

Dieser Raum 2^N mit der von dir modifizierten Metrik umfasst nur die p-adischen ganzen Zahlen. Ob die Menge der p-adischen ganzen Zahlen (das stand vorher auch falsch da) tatsächlich zu einer Cantor-Menge homöomorph ist, weiß ich nicht. Es erscheint mir aber plausibel: Man müsste sich überlegen, ob der eben genannte Raum 2^N (bzw. die Verallgemeinerung p^N, die dann homöomorph zu Z_p ist) in einen Zusammenhang mit einer Cantor-Menge gebracht werden kann. Die klassische Cantor-Menge C besteht ja aus allen Basis-3-Brüchen, in denen nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Dabei entspricht jeder "Trialbruch" umkehrbar eindeutig einem Element von C (da die abbrechende Darstellung einer "Periode 2" eine Ziffer 1 enthalten müsste). Die Frage ist nun, ob die offensichtliche Bijektion von C nach 2^N stetig ist. (Das reicht für einen Homöomorphismus, da es sich um kompakte Räume handelt.) --SirJective/Sig 13:43, 24. Feb 2005 (CET)

Das ist richtig, ich meinte nur die ganzen p-adischen Zahlen, der Begriff p-adische Zahlen ist immer etwas ungenau. Die Homoeomorphie C = Z_p finde ich wirklich ueberraschend, zumal ja auf Cantor-Menge steht, dass alle Cantor-Mengen homeomorph sind, also auch alle Z_p's. Naja, immerhin verstehe ich jetzt, wieso man immer lokalkonstante Funktionen auf Z_p usw. betrachtet.

Dann waere im Artikel eigentlich ausreichend, zu sagen, dass Cantor-Mengen und ganze p-adische Zahlen dasselbe Beispiel sind, denn die Folgenkonstruktion steht ja auch im Artikel ueber p-adische Zahlen.--Gunther 15:05, 24. Feb 2005 (CET)

Die Homöomorphie zwischen C und 2^N hab ich jetzt im Artikel angedeutet, ebenso wie die zwischen p^N und Z_p. Man kann Z_p als genau die Menge p^N mit bestimmten Verknüpfungen definieren, aber das hab ich noch nie gesehen.

Nennt sich Witt-Vektoren, aber das gehoert mit Sicherheit nicht mehr zu "Kompakter Raum".--Gunther 23:42, 24. Feb 2005 (CET)

Ich denke, wir sollten die Cantormenge und Z_p als eigene Beispiele stehen lassen, da es ja (nach einigen Definitionen) verschiedene, wenn auch homöomorphe, Räume sind. --SirJective/Sig 19:26, 24. Feb 2005 (CET)

"Einfaches Beispiel"

Ich finde das Beispiel überhaupt nicht einfach, "typisches Beispiel" wäre eher zutreffend. Ich vermisse, gerade in der Einleitung, die Formulierung der endlichen Approximierbarkeit, i.e. die Existenz von endlichen ε-Netzen. Ein besseres und bedeutsameres Bespiel ist die Existenz von Maxima und Minima von (stetigen) reelen Funktinalen. Für endliche Mengen ist dies trivial, für stetige Funktionale auf kompakten Mengen die unten angegebene Eigenschaft.--LutzL 4. Jul 2005 19:34 (CEST)

ich schlage vor, das beispiel entweder umzuformulieren oder zu streichen.

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Diese Definition bzw. Erklärung des Begriff Kompakter Raum und dessen Bedeutung wurde zuletzt am 25.7.2007 aktualisiert (Glossar Lexikon Enzyklopädie).