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Der Artikel Pi (Kreiszahl) gehört zur Kategorie: Exzellent, Zahlen

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Die Kreiszahl π (pi) ist eine mathematische Konstante; ihr Wert beträgt näherungsweise

[Formel]

Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben pi ([Formel]) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes perifereia (Randbereich) bzw. perimeter (Umfang). Die Bezeichnung pi ([Formel]) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum mathesos des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones (1675–1749). Sie wird auch Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl (nach Ludolph van Ceulen) genannt.

Mathematische Grunddaten

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl [Formel]. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

• das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder
• die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1.

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylor-Reihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

• das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl [Formel] ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch geschrieben werden. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Nullstelle [Formel] ist. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, [Formel] nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von [Formel] wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Wegen der Irrationalität von [Formel] lässt sich die mathematische Konstante in einem Stellenwertsystem nur angenähert ausdrücken. Die ersten 100 Nachkommastellen sind

[Formel] ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 9

Die letzte Ziffer wurde dabei abgerundet.

Kettenbruchentwicklung

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da [Formel] transzendent ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der Kettenbruchdarstellung von [Formel] keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

[Formel] = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, ...]

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (Kreis mit 1 m Durchmesser auf der Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung berücksichtigt werden.

Geschichte der Zahl [Formel] – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl [Formel]. Schon vor den Griechen suchten die Völker nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obschon die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an [Formel] phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen. Oder es sollte, wie die Bibel im ersten Buch der Könige, Kapitel 7, Vers 23 berichtet, ein rundes Becken umspannt werden: Hierauf fertigte er ein kreisrundes Becken an, das von einem Rand bis zum anderen 10 Ellen maß ..., eine Schnur von 30 Ellen umspannte es. Somit wird in der Bibel der Wert für [Formel] mit 3 angegeben. Diesen Wert nutzte man auch im alten China, selbst wenn eine einfache Messung durch ein Maßband zeigt, dass [Formel] in Wirklichkeit noch etwas größer ist als 3.

Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604... Als Näherung für π benutzten die Babylonier 3+1/8 = 3,125. In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert (26/15)² = 3,0044... für [Formel]. In dem astronomischen Werk des Ptolemäus, dem Almagest (ca. 100 n.Chr.), finden sich dann bereits Tabellen von Winkelfunktionen, für welche genauere Werte der Zahl [Formel] bekannt gewesen sein müssen. Ptolemäus benutzte den Bruch 377/120 = 3,14166...; die Grundlage für diese Berechnung schuf rund 350 Jahre zuvor Archimedes.

Archimedes von Syrakus

Für Archimedes und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von [Formel] nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob [Formel] also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Lange dachte man, es sei nur die richtige Methode zur Berechnung noch nicht gefunden.

Die Möndchen des Hippokrates aus Chios

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von [Formel] beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von [Formel] die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen.

Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen. Bereits vor Archimedes konnte mittels der so genannten Möndchen, die dem griechischen Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) zugeschrieben werden, gezeigt werden, dass die Flächen dieser Kreisteile rational ausgedrückt werden können. Mit Hilfe des erweiterten Pythagoreischen Lehrsatzes fanden schon die antiken Mathematiker heraus, dass die Summe zweier über den Segmenten der Katheten errichteter Kreisteile identisch mit der Fläche des zugehörigen rechtwinkligen Dreiecks ist.

Die Teildreiecke, die durch die Höhe des Dreiecks gebildet werden sind flächengleich mit den zugehörigen Möndchen über den Katheten, da die Hypotenusenabschnitte [Formel] und [Formel] im gleichen Verhältnis stehen wie die Radiusquadrate über den Katheten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Häufig versuchten die Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für [Formel] zu gewinnen – so auch Archimedes. Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) war ein antiker griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als 3 + 10/70 sein müsse, jedoch größer als 3 + 10/71:

[Formel].

Archimedes kam über den Bruch [Formel] zu der Annäherung 3,141635.

Die Bezeichnung „[Formel]“ stammt nicht von Archimedes, sondern wurde erst 1706 von dem englischen Mathematiker William Jones in seinem Werk A New Introduction to Mathematics für Archimedes′ Konstante eingeführt; für den Kreisumfang war sie allerdings schon einige Zeit zuvor gebräuchlich. Zum standardisierten endgültigen Durchbruch gelangte der griechische Buchstabe als Bezeichnung der Kreiszahl dann mit seiner Adaption durch Leonhard Euler im Jahr 1734.

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an [Formel] erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui – ähnlich wie Archimedes – die Schranken 3,1410 und 3,1427. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < [Formel] < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch 355/113 (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von [Formel]), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Jamshid Masud Al-Kashi kalkulierte 1424 bereits auf 16 Stellen genau.

John Wallis, 1616–1703 Bildherkunft

Leonhard Euler, 1707–1783 Bildherkunft

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von [Formel] zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Er war so stolz auf diese Leistung, dass er das Ergebnis auf seinem Grabstein verewigen ließ. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 2⁶²-Eck fort. Der Name Ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte Wallissche Produkt:

[Formel].

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

[Formel].

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

[Formel].

Sie war Grundlage vieler Approximationen von [Formel] in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von [Formel]. Seine Gleichung

[Formel]

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich ableiten, indem man sie in Polarkoordinaten der komplexen Zahlen schreibt, beginnend mit

[Formel].

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande [Formel] bereits auf 148 Stellen genau an.

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

[Formel]

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von [Formel] eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung 22/7 = 3,142857... und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber [Formel] beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend. Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch 355/113 = 3,1415929..., immerhin auf sieben Stellen genau. Zudem lässt sich dieser Bruch leicht merken, weil die ersten 3 ungeraden Ziffern - jeweils doppelt notiert - in der Mitte gespalten werden. Allen diesen rationalen Näherungswerten für [Formel] ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von [Formel] entsprechen, z. B. 22/7 =[3;7], 355/113 = [3;7,15,1].

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten an [Formel] dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

[Formel].

Weitere Berechnungsformeln:

[Formel] (Euler)

[Formel]

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1996 entdeckte David H. Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neue Reihendarstellung für [Formel]:

[Formel]

Diese Summenformel erlaubt es auf einfache Weise, die [Formel]-te Stelle einer binären oder hexadezimalen Darstellung von [Formel] zu berechnen, ohne dass zuvor die [Formel] vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen. Baileys Website [LINK] enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass [Formel] in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius [Formel] lautet

[Formel],

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge [Formel] errechnet sich als

[Formel].

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

[Formel].

Damit lässt sich [Formel] als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: [Formel].

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der [Formel] näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von [Formel] hängt von der Gitterweite ab und wird mittels [Formel] kontrolliert. Mit [Formel] erhält man z. B. 3,17 und mit [Formel] bereits 3,1417. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon [Formel] zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = (2 * r + 1) ^ 2
 for y = -r to r
   for x = -r to r
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 ausgabe 4 * kreistreffer / quadrattreffer { 3.141549 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes [Formel] marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von [Formel] ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich [Formel].

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von [Formel] lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahl steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

 public static double berechne_pi(int tropfenzahl) {
   double pi = 0;
   int innerhalb = 0;
   int gesamt = tropfenzahl;

   while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
     double dotx = 2 * Math.random() - 1;
     double doty = 2 * Math.random() - 1;

     if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
       // Punkt liegt innerhalb des Kreises
       innerhalb++;
     } else {
       // Punkt liegt außerhalb des Kreises
     }

     tropfenzahl--;
   }

   pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
   return pi;
 }

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707–1788), der sie im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow I. Perelman im Buch „Unterhaltsame Geometrie“. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von [Formel]. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Johann Rudolf Wolf durch 5.000 Nadelwürfe auf einen Wert von [Formel].

Näherungskonstruktion

Zur Konstruktion der Zahl [Formel] gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die [Formel] enthalten

Obwohl das Problem der Quadratur des Kreises ein geometrisches ist, spielt [Formel] auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von [Formel] als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius [Formel]: [Formel]
• Fläche eines Kreises mit Radius [Formel]: [Formel]
• Volumen einer Kugel mit Radius [Formel]: [Formel]
• Oberfläche einer Kugel mit Radius [Formel]: [Formel]
• Volumen eines Zylinders mit Radius [Formel] und Höhe [Formel]: [Formel]
• Volumen eines durch die Rotation der Funktion [Formel] um die [Formel]-Achse definierten beliebigen Drehkörpers mit den Grenzen [Formel] und [Formel]: [Formel]
• Minkowski-Schranke der Geometrie der Zahlen: [Formel]

Formeln der Analysis

[Formel] spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• unendlichen Reihen: [Formel] (Euler, s. auch Riemannsche ζ-Funktion)
• der Gaußschen Glockenkurve: [Formel]
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große [Formel]: [Formel]
• der Fourier-Transformation: [Formel]
• der Eulerschen Identität: [Formel]

Die Eulersche Identität als Kombination von [Formel], der ebenfalls irrationalen Eulerschen Zahl [Formel], der imaginären Einheit [Formel] und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der schönsten mathematischen Formeln angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die kleiner einer Schranke [Formel] sind, teilerfremd sind, strebt mit [Formel] gegen [Formel].

Formeln der Physik

In der Physik spielt [Formel] neben

• der Kreisbewegung: [Formel] (Winkelgeschwindigkeit gleich [Formel] mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort [Formel] über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: [Formel] (Heisenbergsche Unschärferelation).
• in der Berechnung der Knicklast: [Formel]

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist. Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

• bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von [Formel],
• beim Erdradius zehn Dezimalstellen,
• bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa [Formel] Jahre) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km/s oder [Formel] m/a) ergibt, also rund [Formel] m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa [Formel] m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10^-35 m. Der Kreis besteht also aus [Formel] Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von π ausreichen.

Der derzeitige Näherungsrekord liegt bei 1,241 Billionen Stellen.

Einziger heute erkennbarer praktischer Nutzen dieser aufwändigen Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von [Formel] führen würden. Der mathematischen Theorie verhelfen die Berechnungen auf dem Gebiet der Zufallsstatistik zu neuen Erkenntnissen, wie im folgenden Abschnitt beschrieben wird.

Die Zahl [Formel] spielt in verschiedenen Zweigen der Mathematik eine wichtige Rolle – nicht nur innerhalb der Geometrie, sondern auch in der Algebra, Analysis, Trigonometrische Funktion und Zahlentheorie.

Offene Fragen

Die zur Zeit drängendste mathematische Frage bezüglich [Formel] ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde. (Beispielsweise findet sich die dem Wort „wiki“ im ASCII-Code entsprechende Bitfolge 10111010010101101001 ab der 889.356.628. Stelle der Binärdarstellung von [Formel].)

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von [Formel] zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von [Formel] auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl [Formel] entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl [Formel] tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren sogar noch besser als [Formel] ab.

Sonstiges (für Liebhaber der Zahl [Formel])

Rekorde und Kuriositäten

• Der derzeitige Rekord der Berechnung von [Formel] wird durch Yasumasa Kanada auf einem HITACHI-Supercomputer mit 1.241.100.000.000 (1,2 Billionen) Stellen gehalten. An der 1.142.905.318.634. Nachkommastelle von [Formel] findet man laut Yasumasa Kanada wieder die Folge 314159265358.
• Die erste Million Ziffern von [Formel] und ihres Kehrwerts [Formel] sind als Datei beim Project Gutenberg erhältlich [LINK]
• Freunde der Zahl [Formel] gedenken einmal am 14. März der Kreiszahl mit dem [Formel]-Tag. Der Grund für die Wahl dieses Tages liegt in der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein [Formel]-Annäherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Annäherung von Archimedes an 22/7 geehrt werden soll
• Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem [Formel] überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau [Formel]. Dabei handelt es sich um eine Variante des weiter oben beschriebenen Nadelwurfversuchs
• Im Jahre 1897 gab es im US-Bundesstaat Indiana einen Gesetzentwurf, mit dem die Zahl [Formel] per Gesetz als 3,2 definiert werden sollte. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus bereits beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit
• Das Guinness-Buch der Rekorde kennt die obige Geschichte etwas anders: Der ungenaueste Wert von [Formel]. Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von [Formel] de jure vier ist
• 1853 publizierte William Shanks seine Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von [Formel], alle per Hand berechnet. 92 Jahre später, im Jahre 1945, wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. (Siehe auch die Tabelle unten, die etwas andere Jahreszahlen angibt)
• Die Nummerierung der Versionen des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth nähert sich [Formel] an. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2002 trägt die Nummer 3.141592
• Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können
• Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Aufgestellt und organisiert wurde der Weltrekord von Lisa Grieb und Svenja Häuser vom Mathematikum in Gießen

Film, Musik und Literatur

• 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl [Formel] spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle
• 1998 veröffentlichte Darren Aronovsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus [Formel] herausfiltern möchte

  Wappen Indianas Bildherkunft

  • Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.

  Pi-Sport

  Hauptartikel: Pi-Sport

  Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Weltrekord im Memorieren von Pi liegt inzwischen (Stand 10/06) bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Heike Duch mit 5555 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

  Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme.

  Siehe hierfür: Einfache Merkregeln

  Auf der Jagd nach [Formel] – Tabelle

  {Tausendfach verwendet}>

  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; "

  ---

  Dies ist die vorrangig zu verwendende Formatvorlage für generell alle Tabellen. Ein Verwendungsbeispiel findet sich auf der Diskussionsseite.

  Für zusätzliche CSS-Parameter kann ein Vorlagenparameter angegeben werden, Beispiel:

   
   ...
  

  Für links- und rechtsseitig Ausgerichtete Tabellen siehe Vorlage:Prettytable-L und Vorlage:Prettytable-R.

  Siehe auch: Hilfe:Tabellen, Abschnitt Tabellen in Wie gute Artikel aussehen.

  Prettytable

  en:Template:Prettytable

  Mathematiker	Jahr	Dezimalstellen
  Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind)	17. Jahrhundert v. Chr.	1
  Archimedes	ca. 250 v. Chr.	3
  Zu Chongzhi	ca. 480	7
  Jamshid Masud Al-Kashi	ca. 1424	16
  Ludolph van Ceulen	1596	35
  Jurij Vega	1794	136
  William Shanks	1874	527
  Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120
  Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265
  Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206
  Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
  Chudnovskys	1989	1.011.196.691
  Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
  Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
  Yasumasa Kanada (nicht bestätigt)	2002	1.241.100.000.000

  Siehe auch: Wurzel 2

  Literatur

  • David Blatner: Pi, Magie einer Zahl. Rowohlt, Reinbek 2001. ISBN 3-499-61176-7
  • Jean-Paul Delahaye: [Formel] – Die Story. Birkhäuser, Basel 1999. ISBN 3-7643-6056-9
  • Jörg Arndt, Christoph Haenel: Pi – Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer, Berlin 1998, 2000 (mit CD-ROM). ISBN 3-540-66258-8
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, New York 1998. ISBN 047131515X
  • Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. DTV, München 1992. ISBN 3423330163
  • Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. (8., völlig neu überarb. Aufl.). Ullstein, Berlin 1965.
  • Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1974, 1982. ISBN 3-49916-692-5
  • Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990. ISBN 3-40602-535-8
  • Jakow I. Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.

  Weblinks

  • Geschichte der Zahl [Formel] (englisch)
  • Namensgebung "[Formel" für die Kreiszahl]
  • Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl
  • Freunde der Zahl [Formel]
  • Search [Formel] – [Formel] durchsuchen, Stellen ausgeben lassen (3,2 Mrd. Stellen, langsame Suche)
  • The [Formel-Search Page] – Ziffernfolgen innerhalb von [Formel] suchen (200 Mio. Stellen, sehr schnell)
  • Webseite Yasumasa Kanadas – (englisch, 200 Millionen Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform))
  • Pibel.de – Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit
  • Weltrangliste der [Formel-Auswendiglerner]
  • Nährungsweise Berechnung von π mit Monte-Carlo-Methode (Applet)
  • Die Pi-Zahl auf englisch gesungen

  Bildherkunft

     

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  Exzellent

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  zh-yue:圓周率

  als:Pi (Mathematik) ast:Pi sco:Pi simple:Pi

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  Diskussion der Autoren über den Artikel: Pi (Kreiszahl)

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  Archiv der Beiträge bis etwa Juni 2005

  Cheops-Pyramide

  Wenn schon kurrioses gesammelt wird, dann passt dort auch hinein, dass das Verhältnis aus Umfang und Höhe der großen Pyramiden pi-halbe ist. Vermutet wird, dass in Verehrung der Sonne eine Kreisscheibe als Maß hergehalten hat. genauso oft, wie man eine Kreisscheibe zur Pyramidenhöhe übereinandergesetzt hat, hat man sie auch an der Basis abgerollt um zwei Kantenlängen zu erhalten. Quellen habe ich keine, aber wenn man nach Cheops und Kreiszahl googlet, findet man etliches, außerdem steht das in vielen Mathematikbüchern der Sek I. die Maße in dem Artikel "Cheops-Pyramide" liefern auch den Bruch 880Königsellen/280königsellen, also 22/7. Grüße, Bleizucker 14:15, 5. Sep 2006 (CEST)

  Kurioser Fluss

  Ist find ich ganz interessant: Flüsse sind im Durchschnitt ca π-mal so lang wie die direkte Verbindung von der Quelle zur Mündung.

  Ohhh, hab gerade gesehn, dass das schon mal dran war. Ich kuck mal ob ich die Quelle finden kann, weiss aber, dass es von einem Biologen (ich glaub in den Sechzigern) entdeckt wurde.Seine berechnete durchschnittliche Flusslänge war um den Faktor 3,12 grösser als der direkte Weg von Mündung zur Quelle. Das Phänomen kann allerdings so nur im Amazonasgebiet (und noch irgendwo anders) beobachtet werden.

  Zur Theorie: Flüsse bilden Schleifen aus. Im fortgeschrittenem Stadium bricht der Fluss dann durch und es entsteht ein Seitenarm. Wenn der Fluss kurz vorm Durchbruch steht muss dass Wasser an dieser Stelle somit fast einen ganzen "Kreis" drehen um diesen Punkt zu überwinden (tataaa: ~π ). Ein natürlicher Fluss läuft somit in lauter "Halbkreisen" seiner Mündung entgegen .

  viele Grüsse

  Christoph

  Das Problem an dieser Theorie, ist, dass die "tatsächliche" Länge direkt von der Messgenauigkeit abhängt, je genauer man misst, desto "länger" wird der Fluss. Somit ließe sich auch beweisen, dass der Fluss um den Faktor 42 länger ist. Das gleiche Problem liegt bei Küstenlängen vor. Gruß, --ZOiDberg ^{(ZOiDberg | ZOiDberg/Bewertung & ZOiDberg/Vertrauen)} 22:05, 4. Sep 2006 (CEST)

  Es geht um die Längen von Flüssen, nicht von Flussufern.--Gunther 22:26, 4. Sep 2006 (CEST)

  Ja das ist mir klar, aber die Länge des Flusses kann ja auch beliebig genau gemessen werden, oder? Das kommt auf das Messverfahren an. Hier gilt: Wer suchet, der findet! Wer also nach irgendwelchen Zusammenhängen sucht, findet welche. Eventuell strebt der Grenzwert auch nicht gegen unendlich sondert konvergiert gegen 5 (als Faktor zw. Luftlinie und Flusslänge). Dann kann man auch Werte wie [Formel], [Formel] oder dem Zehntel meiner Schuhgröße finden. --ZOiDberg ^{(ZOiDberg | ZOiDberg/Bewertung & ZOiDberg/Vertrauen)} 22:59, 4. Sep 2006 (CEST)

  Sag' bescheid, wenn Du ernsthaft darüber reden möchtest. Aber ohne Belege wird das sowieso nichts.--Gunther 23:02, 4. Sep 2006 (CEST)

  Nimm ein Bild welches aus dem Weltall fotographiert wurde und vergleiche es mit einem Bild was hinreichend präzise ist. Beispiel: Du kannst in Google Earth den Maßstab (fast) beliebig wählen, je weiter Du rauszoomst desto ungenauer wird die Messung der Flusslänge. Das ist haargenau dasselbe Spiel wie mit den Küsten. --ZOiDberg ^{(ZOiDberg | ZOiDberg/Bewertung & ZOiDberg/Vertrauen)} 13:21, 5. Sep 2006 (CEST)

  Sobald die Maßeinheit in der Größenordnung der Flussbreite angekommen ist, verschwinden die Effekte. In größeren Maßstäben gibt es durchaus "fraktale" Effekte, das schreibt ja auch schon Mandelbrot.--Gunther 13:35, 5. Sep 2006 (CEST)

  Da ich es derzeit nicht wiederlegen kann, muss es als korrekt angesehen werden. Somit hat es eine Daseinsberechtigung. Gruß, --ZOiDberg ^{(ZOiDberg | ZOiDberg/Bewertung & ZOiDberg/Vertrauen)} 16:03, 5. Sep 2006 (CEST)

  Oki, nach langem Suchen(eher Zufall :-)) hab ich nun die Quelle gefunden: Støllum, Hans-Henrik, "River meandering as a self-organization process" in Science 271 (1996), S.1710-1713. War aber eher GEologe als Biologe.

  In der deutschen Ausgabe von "Fermat's letzter Satz" von Simon Singh (S.40) kann man dazu auch lesen: "... Dieses Verhältnis ist zwar je nach Fluß verschieden, der Mittelwert ist jedoch etwas größer als drei, das heißt, die tatsächliche Flußlänge ist dreimal so groß wie die Luftlinie. Tatsächlich beträgt das Verhältnis etwa 3,14 und entspricht damit einem Wert in der Nähe von π ...."

  Gruss Christoph

  Schreibfehler???

  Laut http://www.heise.de/newstic... sind es 1.241.100.000.000 Stellen Dnalor 21:59, 24. Jul 2005 (CEST)

  • Die Heise-Meldung ist von 2003, seitdem findet sich nicht neues mehr. Ist das immer noch die aktuell längste Berechnung? (nicht dass es irgendwie wichtig wäre noch mehr stellen zu berechnen ;-) --Hcii 10:06, 8. Sep 2006 (CEST)

  Warum Pi?

  Hallo...Ich wollte mal fragen wie es zu der Zahl Pi gekommen ist? Also warum Pi 3.141 und keine andere zahl ist. Danke. mfg, McL

  ROTFL! Der ist gut! Wo ist das Humorarchiv? --84.154.200.150 17:32, 3. Sep 2006 (CEST)

  Ja das ist echt gut! McL, lies doch einfach mal den Artikel. --ZOiDberg ^{(ZOiDberg | ZOiDberg/Bewertung & ZOiDberg/Vertrauen)} 18:38, 3. Sep 2006 (CEST)

  Definition

  Die dritte Definition (Umfang des Kreises m. Radius 1/2) ist nur eine Umformulierung der ersten; ich würde sie streichen. Dagegen ist es in der (komplexen) Funktionentheorie üblich, pi über die Eulersche Identität zu definieren, oder etwas akkurater formuliert: "pi ist die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, so daß die komplexe Exponentialfunktion exp(z) genau für alle ganzzahligen Vielfachen von [Formel] den Wert 1 annimmt". Damit hätten wir dann wieder 4 Definitionen von pi. -- JFKCom 7. Jul 2005 23:36 (CEST)

  Das ist allerdings auch nichts wesentlich anderes als das Doppelte der kleinsten Nullstelle des Kosinus. Die Doppelung habe ich herausgenommen.--Gunther 8. Jul 2005 11:52 (CEST)

  Ok, die Änderung finde ich gut. Du hast ja recht mit der Euler-Identität. Demnach hältst Du es auch für sinnlos, die Def. "kleinste positive Nullstelle des Sinus" anzufügen, oder? Nebenbei, mit dem Aufbau dieser Disku-page komme ich nicht klar. Ist da nicht vieles dabei, was eigtl. schon längst umgesetzt ist? -- JFKCom 8. Jul 2005 20:57 (CEST)

  Ja, wegen [Formel] ist die kleinste positive Nullstelle des Sinus gleich dem Doppelten der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus. Und ja, hier steht viel Überflüssiges, deshalb habe ich die Anfrage auch nach unten verschoben, weil da die neuen Einträge stehen :-) --Gunther 8. Jul 2005 21:37 (CEST)

  Man sollte in der Einleitung " euklidische Geometrie" präzisieren, da je nach Metrik (d.h. Norm) das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser zwischen 3 und 4 schwanken kann (wobei diese extremalen Werte bei einer (regelmäßig) hexagonalen resp. quadratischen Einheitskugel angenommen werden). MFH 01:09, 5. Nov 2005 (CET)

  Wer interessiert sich für den Umfang dieser Einheitskreise? Da sollte man schon eher darauf hinweisen, dass z.B. auf der Erdoberfläche das Verhältnis nicht konstant ist, sondern von der Größe des Kreises abhängt.--Gunther 08:47, 5. Nov 2005 (CET)

  Doppelspurigkeit

  Der Artikel ist mittlerweile so gross und unübersichtlich geworden, dass interessante Dinge schon an mehreren Stellen auftauchen, wahrscheinlich, weil jemand findet, das und das gehört doch unbedingt rein — wo würde ich das hintun? steht es da schon? nein? also rein! (Ich bin schon fast geneigt, einen Preis auszusetzen für denjenigen, der das erste Triplett findet.) Ein Doublett habe ich gefunden: Unter "Weitere schöne Berechnungsformeln" auf Zeile 112 eine schöne Formel von Euler. Dieselbe Formel nur ein bisschen gelahrter (d.h. geschlossen mit Summenzeichen) dargestellt steht ca. einhundert Source-Zeilen weiter unten unter "Formeln der Analysis" auf Zeile 213 noch einmal. Diese zweite Darstellung gefällt mir persönlich übrigens besser, die andere ist vielleicht leichter verständlich für Leser die mit mathematischer Notation, insbesondere Summenzeichen nicht so vertraut sind. — Was machen wir mit diesem Fall? — Was machen wir, um solche Doppelspurigkeiten nach Möglichkeit zu vermeiden? — Nol Aders 02:00, 23. Jul 2005 (CEST)

  Es ist nicht prinzipiell schlecht, wenn Sachen zweimal erwähnt werden, Hauptsache der Leser findet die Sachen da wo er sie sucht. --DaTroll 11:51, 24. Jul 2005 (CEST)

  Prinzipiell bin ich mit Dir einverstanden, nur ist diese Doppelspurigkeit hier sinnvoll? Ich finde eher nicht und wäre geneigt, sie zu eliminieren, (aber nicht ohne Diskussion) ... — Nol Aders 16:14, 24. Jul 2005 (CEST)

  Nicht nur diese Formel, sondern der ganze Teil ab dem Wallis-Produkt trägt nur noch wenig zum Thema "Näherungsformeln" bei. Weder Wallis noch Leibniz noch die fragliche Euler-Formel sind zur Berechnung von π geeignet.--Gunther 16:21, 24. Jul 2005 (CEST)

  Naja, das Wallis-Produkt würde ich trotzdem irgendwo auf der Kreiszahl-Seite passend finden. Nur dieses "weitere schöne Berechnungsformeln" würde ich fortsetzen mit "... finden sich als Beispiele bei Reihe (Mathematik)" und diese Formeln dort unter den Beispielen eintragen.--JFKCom 19:45, 24. Jul 2005 (CEST)

  Ich wollte nicht vorschlagen, die Formeln zu löschen, nur sie in einen passenderen Abschnitt zu verschieben. Dann löst sich die Verdoppelung vermutlich von alleine auf.--Gunther 19:49, 24. Jul 2005 (CEST)

  Mmmh, ich denke, wir diskutieren hier 2 Fragen simultan aus: (1) Das Schicksal einiger einzelner Formeln (hierüber ist offenbar einigermaßen Konsens hergestellt), (2) der von Nol Aders berechtigt angesprochene Umstand, dass der Artikel so langsam aus den Nähten platzt. Ich denke, irgendwas müssen wir mal als Auslagerungskandidaten in eigene Artikel identifizieren...--JFKCom 21:37, 24. Jul 2005 (CEST)

  Also eine Änderung des Formelabschnitts würde bei mir Zustimmung finden. Leider kaum noch Zeit, entsprechend nur so ein Kommentar ;-) --DaTroll 19:24, 25. Jul 2005 (CEST)

  Berechnung mittels Flächenformel

  Nach meiner Auffassung kann man AK lediglich mittels Pi berechnen, und man erhält dann auch nur das Pi welches man vorher zur Berechnung von AK verwendet hat. Deshalb ist diese Berechnungvon PI eher weniger von praktischem Nutzen. Falls ich falsch liegen sollte bitte ich um Aufklärung. Eine berechnung des Kreisflächeninhaltes ohne Pi ist nach meinem Wissensstand unmöglich. Um Pi zu ermitteln braucht es deshalb nach meiner Auffassung andere Wege die weiter oben beschrieben werden. MFGMatze6587 21:07, 1. Aug 2005 (CEST)

  Das Verfahren kommt im Absatz darunter. Die von dir angesprochene Formel ist wie Du schon sagst eine reine Umformung. --DaTroll 22:19, 1. Aug 2005 (CEST)

  Wieso wird hier ständig meine Formel gelöscht die ich entdeckt habe bezüglich der Berechnung des Kreisumfanges? Hier nochmal der link dazu : http://members.aol.com/Z200...

  Wie ich schon unter Diskussion:Pi schrieb: Zum in der zweiten Formel verwendeten Näherungswert findet sich in Kreiszahl der Satz: "Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604...." Soviel zum Thema "von Dir neu entdeckt".

  Den der ersten Formel entsprechenden Näherungswert [Formel] kannte ich noch nicht, allerdings ist die Näherung 22/7 vergleichbar gut (0,04% gegen 0,035% relativer Fehler). Erwähnenswert sind diese Näherungswerte aber hauptsächlich aus historischen Gründen, und dafür bist Du ein paar hundert Jahre zu spät dran.--Gunther 14:27, 7. Aug 2005 (CEST)

  Rundung der letzten Ziffer

  Wenn man für die letzte Ziffer abrundet, ist die letzte angegebene Ziffer tatsächlich die 100. (oder wievielte auch immer) Nachkommastelle von π. Rundet man nach den üblichen Regeln auf oder ab, kann man das nicht wissen. Deshalb das "abgerundet" im Artikel.--Gunther 23:25, 11. Aug 2005 (CEST)

  Formel falsch?

  In bezug auf die Formel

  [Formel]

  schrieb 84.189.252.211 um 18:31, 5. Sep 2005:

  Diese Formel ist falsch, weil mit mehr als ca. 100.000 Brüchen wird das Ergebnis größer als Pi (festgestellt durch selbstprogrammiertes Programm). Nahezu alle Verfahren in diesem Dokument wurden mit dem Programm überprüft und es wurde festgestellt, dass sie richtig sind.

  Meine Frage ist dazu: Mit welcher Genauigkeit hast Du gerechnet? Kannst Du Rundungsfehler ausschließen? Mein "Taschenrechner", der den exakten Bruch für die obige Summe bis [Formel] ausgerechnet hat (den ich aus Platzgründen hier aber besser nicht poste), erhält mit 20 Nachkommastellen das Ergebnis

  0.035398163397448247118,

  für [Formel]

  0.035398163397448309616.

  Die Summanden in diesem Bereich haben eine Größenordnung von

  0.00000000000000012,

  und die Differenz liegt darunter. Ich sehe keinen Grund, das Ergebnis anzuzweifeln. (Mit den üblichen IEEE-Gleitkommazahlen ist diese Genauigkeit nicht erreichbar.)--Gunther 18:50, 5. Sep 2005 (CEST)

  Kleiner Tipp aus der Numerik: um eine Partialsumme möglichst genau zu berechnen, sollte man immer mit den kleinsten Termen anfangen, um Rundungsfehler zu minimisieren. Probier' mal was sich ergibt, wenn Du "FROM i=1 TO 10^5" durch "FOR i=10^5 DOWNTO 1" (d.h. "for( i=1; i<10^5; i++)" durch "for( i=10^5; --i;)") ersetzt. MFH 22:02, 4. Nov 2005 (CET)

  Bei mir natürlich dasselbe, und die IP ließ ja ohnehin nichts mehr von sich hören.--Gunther 22:31, 4. Nov 2005 (CET)

  Noch ein Bruch von Archimedes

  Da steht "Archimedes kam über den Bruch [Formel] zu der Annäherung 3,141635." — Es wäre interessant, mindestens ein Stichwort dazu zu erfahren, wie Archimedes auf diese Näherung gekommen ist; weiss das jemand? — Nol Aders 02:55, 2. Okt 2005 (CEST)

  Mh, das ist ne gute Frage. Ich habe eben nochmal gesucht, aber diese Näherung kann ich nirgendswo finden. Erwähnt wird immer die Exhaustionsmethode, die Archimedes allerdings nur zu 3 + 10 / 71 < π < 3+11/71 führte. --DaTroll 12:34, 2. Okt 2005 (CEST)

  Gerundet gleich

  Das Zeichen [Formel] ist mir ehrlich gesagt noch nirgendwo begegnet. Kennt das sonst jemand als Allgemein gebräuchlich? --DaTroll 12:34, 2. Okt 2005 (CEST)

  Ich kenn's auch nicht.--JFKCom 23:33, 9. Okt 2005 (CEST)

  Dieses Zeichen [Formel] spricht sich als „in erster Näherung“ und ist in der Mathematik durchaus üblich. Es drückt aus, daß die Näherung/Abschätzung durch eine Gerade angenähert wurde.--Anonym 21:36, 18. Dez 2005 (CET)

  Wenn ich den Kreis durch eine Gerade annähere, erhalte ich [Formel]. SCNR--Gunther 21:39, 18. Dez 2005 (CET)

  Noch eine Formel

  Ich kann in Wikipedia Deutschland nirgenswo die Formel [Formel] finden. Ich meine zwar, die mal irgendwo gesehen zu haben, aber jetzt scheint sie entfernt worden zu sein. Die ist so schön, weil sie alle wichtigen Zeichen der Mathematik enthält. Sollte sie nicht in einen der Artikel über e, pi, i, 0 oder 1 eingefügt werden?--Limburg 22:17, 9. Okt 2005 (CEST)

  Die Formel [Formel] ist die berühmte Eulersche Identität, bzw. ein Spezialfall der allgemeineren Eulerschen Identität [Formel]. Die Variante [Formel] ist eine ziemlich hohle Aufblähung der Formel, die nur dazu dient, die Null auch noch in die Formel reinzustopfen, um diese etwas überdrehte philosophische Behauptung ("alle wichtigen Zeichen der Mathematik") aufstellen zu können. Es gibt auch noch andere wichtige Zeichen der Mathematik; siehe Diskussion:Eulersche Identität, wo das Thema schon gewälzt wurde.--JFKCom

  In der Tat, wenn man -1 hat, hat man per Definition auch 0. Und die wichtige Zahl e kommt eigentlich in keiner der beiden Formeln vor, sondern nur die Exponentialfunktion exp(x) = sum( x^k/k! , k in N). (Der Wert des Ausdrucks e^{imaginärzahl} ist eher eine Definitionssache als eine Potenz der Zahl 2.718281828... Wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet, hat man garnicht das Recht, nicht-ganze (oder gar irrationale) Potenzen zu schreiben.) Das eigentlich bemerkenswerte ist (m.E.), daß exp(i pi)=-1 ist. MFH 22:33, 4. Nov 2005 (CET)

  Warum immer dezimale Nachkommastellen von Pi ?

  Ich finde es seltsam, daß 90% der Diskussionen um Pi sich mit den Nachkommastellen, und 99.99% dieser Diskussionen sich um die Dezimalen dieser Zahl befassen. Die dezimalen Nachkommastellen von Pi haben, nein: können m.E. kaum eine mathematische Beseutung haben, weil Sie nur darauf beruhen, daß die Erdbewohner i.A. 10 Finger haben.

  Was einen Sinn haben könnte, wären die dualen Nachkommastellen (2 als Basis ist wesentlich fundamentaler als 10), oder aber die Kettenbruch-Entwicklung von Pi.

  Was die Zahl e=exp(1) angeht, kann man den allgemeinen Term der Kettenbruchentwicklung leicht angeben, für Pi wäre eine Forschung auf diesem Gebiet wesentlich interessanter als Megabyte große Files der dezimalen Nachkommastellen. Was dieses Thema angeht, findet sich leider kein (direkter) Link auf dieser Webseite. Hat eigentlich schon jemand versucht, ein Muster in den dualen Nachkommastellen zu suchen ? Auch hierzu habe ich keinen Link gesehen. (Wobei natürlich die meisten Berechnungen per Computer im Dualsystem stattfinden.) MFH 22:53, 4. Nov 2005 (CET)

  Ich habe keine Ahnung wie bewiesen wurde, das es kein Muster in den Dezimalstellen von pi gibt. Ich bin mir aber sicher, das wenn es dort eines gaebe auch ein Muster in den dualen Nachkommastelen existieren wuerde. Oder anders ausgedrueckt: Es gibt kein Muster in den Dezimalstellen und daher auch kein Muster in den dualen Nachkommastellen. --Duesi 11:31, 18. Nov 2005 (CET)

  Es ist definitiv so, dass eine dezimalzahl mit muster auch als binärzahl (und in jedem zahlensystem mit natürlichzahliger basis) ebenfalls ein muster hat (weil zur umrechnung nur eine reihe von multiplikationen/divisionen und additionen stattfindet). Daher ist diese frage nicht relevant. --Nikolaus

  Bildherkunft

  14:57, 18. Nov 2005 (CET)

  Seltsamer Zusammenhang zwischen Pi und Flüsslängen?

  Ich habe gerade gehört, dass sich das Verhältnis zwischen der Länge und der Entfernung zwischen Mündung und Quelle der größeren Flüsse der Erde (z.B. Nil) Pi annähert. Ich habe schon in wikipedia nach den entsprechenden Werten gesucht. Bei den Flüssen sind jedoch nur Längen - nicht aber die Entfernungen zwischen Quelle und Mündung angegeben. Abgesehen davon, dass man diesen Fakt mal überprüfen muß (z.B. Tabelle von Beispielen), wär das doch auch eine spannende Skurilität. Soweit es Flüsse auf anderen Planeten gibt, wäre auch interessant, ob dort der gleiche Zusammenhang besteht. Für eine mögliche Erklärung wäre ich dankbar. Ist das Zufall?

  Im Archiv dieser Diskussion, findet sich ein Absatz dazu. --DaTroll 10:30, 18. Nov 2005 (CET)

  Merkregeln

  Wie funktionieren denn die Merkregeln? Ich hab da jetzt irgendwie keinen Sinn drin erkannt. Ich bitte um Hilfe. --ChristianHeldt 02:07, 29. Nov 2005 (CET)

  Die Anzahl der Buchstaben entspricht den Stellen, wies auch im ersten Satz des Abschnitts steht ;-) --DaTroll 08:57, 29. Nov 2005 (CET)

  Ach ja. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil :-) --ChristianHeldt 22:40, 29. Nov 2005 (CET)

  Die Griechen suchten nicht nach π - Pi war ihnen voll bekannt!

  In der historischen Betrachtung wird leider nicht auf die Herkunft der Bezeichnung "pi" für die Kreiszahl eingegangen, die sich für uns in einem simplen griechischen Buchstaben bekannt ist. Daraus ergibt sich leicht die irrtümliche Annahme, dass schon die Griechen die Kreiszahl als "π" bezeichnet haben. Dies war nicht so. Für die Griechen hatte die Zahl pi nämlich den Wert 40, das sich aus der Buchstabenkonstellation ihres Alphabets ergibt. Die Bezeichnung "π" kam erst durch einen Engländer um 1600 (?) in Gebrauch. Er verwendete für die alten griechischen Begriffe diameter (für Kreisdurchmesser) und perimeter (für Kreisumfang) um die Kreiszahl zu berechnen. Aus dem griechischen Wort "perimeter" wurde verkürzt "π". Ab dem Zeitpunkt - so kann man sagen - verlor "π" seinen ursprünglichen Zalhenwert "40". mfg

  Siehe Kreiszahl#Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken, letzter Absatz.--80.136.158.217 12:22, 1. Dez 2005 (CET)

  Diese Formel wird verändert

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel] stellt dabei die Anzahl der Wurzeln dar. Beim Berechnen bitte an ausreichend viele Nachkommastellen denken.

  --Die maske von pi 16:38, 13. Dez 2005 (CET)

  Soweit ich weiß, hat Archimedes i.w. diese Formel verwendet, allerdings anscheinend ausgehend von einem Drei- oder Sechseck und nicht von einem Quadrat.--Gunther 16:57, 13. Dez 2005 (CET)

  Da bin ich anderer Meinung. Dies ist die einfachste Formel von allen. Warum wird diese dann nicht erwähnt? --Die maske von pi 17:07, 13. Dez 2005 (CET)

  Schreib sie in den Artikel. Alternativ könnte man auch die äquivalente Form

  [Formel]

  erwähnen, die ohne "n" auskommt.--Gunther 17:26, 13. Dez 2005 (CET)

  Von Viète kann man leider nicht direkt auf meine Formel schließen. Es sind zwei komplett unterschiedliche Formeln --Die maske von pi 17:35, 13. Dez 2005 (CET)

  Es gilt

  [Formel]

  und wenn man endliche Stücke der rechten Seiten der beiden Formeln zusammenmultipliziert, kann man die Wurzeln mit der dritten binomischen Formel schrittweise elimieren.--Gunther 17:43, 13. Dez 2005 (CET)

  Ich entschuldige mich für meinen schnellen Schluss. Ich hatte mich zuvor mit Viète beschäftigt und konnte keine Verbindung herstellen. Da der Beweis der "beiden" Formeln unterschiedlich ist, hab ich diese verfrühte Folgerung gemacht. Könntest Du deinen Weg etwas genauer ausführen? --Die maske von pi 18:02, 13. Dez 2005 (CET)

  Das Prinzip ist die Umformung

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  damit bekommt man dann schrittweise

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  Aus trigonometrischer Sicht sind die "Minus-Wurzeln" [Formel], die "Plus-Wurzeln" [Formel], und die Umformung ist [Formel], zusammengesetzt

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  Genügt das?--Gunther 18:23, 13. Dez 2005 (CET)

  Vielen Dank. Daran hab ich gar nicht gedacht. Naja, immerhin ist es die einfachste Formel für Pi und die Herleitung ist eine andere als Viètes und deiner Umformung. --Die maske von pi 19:15, 13. Dez 2005 (CET)

  Ich würde Vieta genau so beweisen, ich glaube, ich kenne auch gar keinen anderen Beweis.--Gunther 23:51, 13. Dez 2005 (CET)

  Ab sofort werde ich aufhören vorschnell zu antworten. Ich habe die Herleitung nachgeschlagen. Es ist die einzige Herleitung. Der Weg war in meiner Quelle nur anders beschriebn, n bissel anders umgestellt. Hatte nicht so viel Zeit um ne präzise Antwort zu geben. Ich werde später auf das Thema nochmal eingehen --Die maske von pi 16:52, 15. Dez 2005 (CET)

  Mit einzige Herleitung meinte ich natürlich, die einzige bereits bekannte Herleitung.

  Nun gibt es zwei.

  Tja, echt schade, dass man meine Formel auch aus Viéte bilden kann.

  Meine Herleitung habe ich als Abiturient aufgestellt (mit Realschulstoff), so dass es jeder Hauptschüler verstehen würde. Es ist ein Vierzeiler - direkt am Kreis hergeleitet und ohne Limes-Betrachtung, 3.Binom, Trigonometrie oder solch netten Sachen.

  Es ist so einfach, dass ich sogar behaupten möchte, dass meine Formel eine zentrale Rolle einnehmen könnte.

  Sie ist nicht nur irre einfach, ferner

  - demonstriert die Formel, dass das "eigentliche Pi" der Wurzelausdruck ist. Unser normales Pi ist lediglich ein Vielfaches davon (!).

  - ist es ein Kinderspiel diese Formel zu programmieren. Der Rechenaufwand ist verhältnismäßig gering. Bei Viéte müsste man immer 'n ewig langen Ausdruck hinten dran hängen (oder im Zwischenschritt ständig multiplizieren o.ä.). Bei meiner Formel braucht man nur ein Wurzel(2) in die Formel stecken und n++.

  Zwei Sachen sind jedoch merkwürdig:

  1) Warum hat Viéte das nicht erkannt?

  2) Beide Formeln nähern sich Pi unterschiedlich an. Könnte jedoch an meinem Rechner liegen. Kann das bitte jemand überprüfen? (besonders deutlich bei n>6)

  Ich kann natürlich beweisen, dass mein Weg zur Formel ein anderer ist.

  Sonst käme ich ja auch nicht zur nächsten Formel. Diese erhält man in schon fast trivialer Weise aus der ersten. Diese ist jedoch viel (!) genauer als meine erste:

  [Formel]

  [Formel]

  [Formel]

  Für's Programmieren sieht diese Formel auf dem ersten Blick nicht so toll aus. Man sollte jedoch bedenken, dass man ja nur auf schon errechnete Werte zurückgreift. Auch hier ist das Annäherungsverhalten an Pi höchst interessant. --Die maske von pi 19:33, 16. Dez 2005 (CET)

  Man kann nahezu beliebig viel herumspielen, sobald Trigonometrie irgendwo in Sicht ist. Z.B. ist

  [Formel]

  --Gunther 20:25, 16. Dez 2005 (CET)

  Ja, das stimmt schon. Das ist klar. Ich hätte meine zweite Formel auch anders schreiben können. Ich sehe aber noch nicht, wie das erklären sollte, warum meine zweite Formel funktioniert und sogar genauer ist als meine erste (dh. ohne sich meiner Herleitung zu bedienen).--Die maske von pi 21:05, 16. Dez 2005 (CET)

  Die alte Folge war

  [Formel]

  für [Formel], die neue ist stattdessen

  [Formel]

  Im Gegensatz zur ersten Formel verschwindet die zweite Ableitung bei [Formel], deshalb ist die Konvergenz besser.--Gunther 21:19, 16. Dez 2005 (CET)

  Och nö, das macht ja überhaupt keinen Spaß mehr ;-)

  Danke, dass ist sehr interessant.

  Nagut - Ich werde in den nächsten Tagen irgendwann mal meine Herleitung veröffentlichen - es ist wirklich sehr einfach.

  Könnte trotzdem jemand auf die erwähnten zwei "Merkwürdigkeiten" eingehen? --Die maske von pi 10:50, 17. Dez 2005 (CET)

  Ja, es ist leider schwierig, nach deutlich über 2000 Jahren noch irgendetwas Neues zu finden. Zu Deinen Fragen:

  1) Keine Ahnung. Vielleicht hat er es gekannt, und es ist nur nicht allgemein bekannt. Wie gesagt, man kann das auch als Berechnung des Umfangs eines dem Kreis einbeschriebenen [Formel]-Ecks auffassen, und das hat schon Archimedes gemacht.

  2) Das können eigentlich nur Rechen- oder Rundungsfehler sein. Der Rechenschritt 2 − Wurzel ist ziemlich heikel, weil die Wurzel ungefähr gleich 2 ist.--Gunther 12:30, 17. Dez 2005 (CET)

  Die Herleitung

  So, hab' mir viel Mühe gegeben- auch wenn die Bilder nicht ganz so pralle sind;

  Hier nun die versprochene EINFACHE Herleitung:

  @Gunther: Ich weiß, dass Du dies als Zweizeiler verstehen würdest. Aber ich behaupte ja, dass jeder der weiß was der Phytagoras ist, diese Herleitung verstehen wird. Wie du erwähntest hat Archimedes das Prinzip mit dem [Formel]-Eck schon erfunden. Aber auf der anderen Seite meintest Du "auch gar keinen anderen Beweis [zu kennen]" - was mich schließen lässt, dass der Beweis nicht allzu verbreitet ist (oder gar nicht). Darum erwähne ich diesen jetzt hier:

  Das Prinzip ist wie folgt:

  Wir nehmen uns also einen handelsüblichen Einheitskreis. Dh Radius = 1.

  Betrachten wir jetzt nur den zweiten Quadranten (links oben).

  Es gilt [Formel] bzw. [Formel]. Dh. π ist die Bogenlänge eines Halbkreises beim Einheitskreis.

  Zieht man nun eine "Verbindungslinie" vom Radius bei 90° zum Radius bei 180°, so hat man die erste Näherung zum Umfang. Die Seitenlänge nenne ich [Formel]. Somit gilt [Formel]

  Nun halbieren wir die Verbindunglinie und setzten den Radius dort wieder an. Wir erhalten wieder ein Kreissegment. Die Länge dieser Verbindungslinie ([Formel]) halbiert man ebenfalls und erhält [Formel]. Und [Formel]. usw.

  {|

  | 

  Bildherkunft

  | 

  Bildherkunft

  | 

  Bildherkunft

  |}

  Soweit zum groben Prinzip.

  Nun zur Berechnung:

  Zur Veranschaulichung hab ich die bekannten Strecken Grün, die gesuchten Rot eingefärbt.

  {|

  |Nach dem Phytagoras ist die Seitenlänge von [Formel]. | 

  Bildherkunft

  |}

  {|

  |Dh. mit der Halbierung ( [Formel]) erhalte ich [Formel]. ([Formel]) Dies ist leicht zu beweisen, mache ich jetzt aber an dieser Stelle nicht. | 

  Bildherkunft

  |}

  {|

  |Um [Formel] zu errechnen möchte ich die Höhe der Segments (des Kreisabschnittes) wissen. Diese nenne ich [Formel]. [Formel]. Die Halbierung von [Formel] nenne ich [Formel]. Nun gilt laut dem Phytagoras: [Formel] | 

  Bildherkunft

   

  Bildherkunft

  |}

  Somit erhalte ich [Formel]

  und [Formel]

  {|

  |[Formel] halbiere ich. Dieser Wert ist nun mein [Formel]. | 

  Bildherkunft

  |}

  {|

  |Nach Phytagoras ist [Formel] | 

  Bildherkunft

  |}

  {|

  |und abermals ist [Formel] ([Formel]). Somit ist [Formel]. | 

  Bildherkunft

  |}

  Man kann hier erkennen, dass dies auf die Form hinausläuft:

  [Formel]

  Daraus resuliert meine erste Formel:

  [Formel]

  Hat dies jemand nicht verstanden? Keiner? Gut. Wzbw.

  So, wie kommt man nun auf meine zweite Formel?

  Ganz einfach: Das ganze kann man ja nun für ein n-Eck machen, dass sich von außen dem Kreis annähert. Also mein Tipp: Strahlensatz! - Dann erhaltet ihr ne Formel für die Seitenlänge des n-Ecks, welcher außerhalb des Kreises ansetzt. Kombiniert ihr diese mit der der ersten erhaltet ihr meine zweite Formel.

  @Gunther: Deine Erklärung beweist meine zweite Formel zwar, leitet sie jedoch nicht her - im Gegensatz zu meiner orginal Herleitung.

  Hierbei ist nochmal schön zu sehen, dass:

  Pi nur n Vielfaches vom Wurzelausdruck ist. (Wenn man Pi kennen möchte, sollte man doch zuvor das "eingentliche" Pi kennen.)

  Pi in direkter Abhängigkeit zum Phytagoras steht, welchen man ja anwenden kann, da der Kreis die Eigenschaft erfüllen soll, dass alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.

  Ich denke ob Viéte nun diesen Zusammenhang nicht sah oder nicht für wichtig hielt es fest zu halten: Beides ist gleich schlimm.

  Meine erste Formel ist viel einfacher als Viétes Orginal. Meine zweite viel genauer und beide viel eleganter. Meine Herleitung ist extrem einfach, Viéte und Archimedes legen einem diese geradezu nahe. Also, warum findet man diese Formeln und Herleitung nirgends??

  Ihr müsst doch wirklich zugeben, dass ist mir Abstand die einfachste Formel.

  Man vergleiche nur die gleichwertigen Aussagen:

  [Formel] entsprich [Formel]

  Bei der einfachen Herleitung habe ich gerade mal auf das Radizieren, Multiplizieren, Addieren und Subtrahieren zurückgegriffen, als auch ein ganz klein wenig auf's Dividieren und Potenzieren.

  Nur mal zum Vergleich: hier die Herleitung von Viète

  Exisitiert die hier gezeigte Herleitung schon? Wenn ja, frag ich mich warum sie nicht überall gelehrt wird?

  Ist dies das erste mal, dass diese Formeln und Zusammenhänge so aufgeschrieben wurden?

  Also wenn das zumindest keine Fußnote in Wikipedia wert ist...

  --Die maske von pi 18:58, 22. Dez 2005 (CET)

  Bevor Du das für die Inventiones einreichst ;-) , solltest Du genau recherchieren, wie Vieta und Archimedes argumentiert haben; meine Vermutung ist, dass einer der beiden genau den von Dir oben genannten Gedankengang verfolgt hat. Ich kenne mich allerdings in der Geschichte der Mathematik nicht gut genug aus, um beurteilen zu können, ob Vieta schon Trigonometrie benutzt haben könnte; im von Dir zitierten englischen Artikel sehe ich zumindest keine Aussage, dass die angegebene Herleitung der Formel dem von Vieta begangenen Weg entspricht.

  Es gibt noch ein inhaltliches Problem: Konvergenz von Längen ist ein heikles Thema. Klassisches Beispiel: Betrachte eine Strecke der Länge 2 und einen Halbkreis darüber, Länge π. Unterteile die Strecke in zwei Hälften, betrachte über der linken Hälfte einen Halbkreis nach oben, über der rechten einen Halbkreis nach unten. Länge der beiden Strecken: 2, Länge der durch die beiden Halbkreise gegebenen Kurve: π. Unterteile die Strecke in vier gleich große Teile, errichte über ihnen abwechselnd Halbkreise nach oben und nach unten. Länge der Strecke: 2, Länge der Kurve: π. Usw. Die Kurve konvergiert gegen die Strecke, also 2 = π.

  Auf jeden Fall ist der von Dir geschilderte Gedankengang mMn eher erwähnenswert als die Programme zur Erzeugung zufälliger Punkte in einem Quadrat... Wer ist denn hier der Exzellenz-Beauftragte? ;-) --Gunther 00:50, 23. Dez 2005 (CET)

  Wäre denkbar, dass einer der beiden meinen Weg schon erfand. Vielleicht ist es nur nicht fest gehalten. Ich werde mal nachforschen. Habe aber im Moment nur sehr wenig Zeit. Werde dies also später machen. Sollte sich jemand dies hier durchlesen, der über das nötige Wissen verfügt oder die nötige Literatur, so zöger bitte nicht mir zu helfen.

  Ich kenn mich noch nicht wirklich mit Konvergenzkriterien aus. Ich betrachte mal die Halbkreise deines Gegenbeispieles als Segmente. Dann bleibt das Verhältnis von Segment-Höhe und Seitenlänge immer gleich. Wenn man sagt, dass alle infitisimal kleinen Strecken gleich groß sind, konvergiert die Strecke wirklich gegen π. Jedoch auch gegen jede andere beliebige Zahl.

  Das wäre ja in meinem Fall nicht so. Die Höhe des Segments wird ja wirklich kleiner. Man nähert sich π also wirklich an.

  --Die maske von pi 16:20, 31. Dez 2005 (CET)

  Van Ceulen wählte einen interessanten Ansatz. --Die maske von pi 17:17, 1. Jan 2006 (CET)

  Das ist doch i.w. wieder genau dasselbe wie Dein Ansatz oben. Die Konvergenzproblematik kann man übrigens vermeiden, indem man statt des Umfangs den Flächeninhalt verwendet, das gibt genau dieselben Formeln.--Gunther 11:52, 2. Jan 2006 (CET)

  Ja, ich weiß - meinte ja auch, dass der Ansatz interessant ist ;-)

  In der Tat ist das Prinzip von Archimedes und somit von Van Ceulen offensichtlich das gleiche wie meines. Aber das Ergebnis ist unterschiedlich. Ich glaube nicht, dass Archimedes mit dem Radizieren so handtierte, wie ich oder Van Ceulen es tat. Ich glaube eher, dass er einen Ansatz wählte, der diesem(unter Archimedes) nahe kommt. Es gibt einen Hauptunterschied. Während Archimedes von einem Startwert 1 ausging, Ludolph diesem mit 0,5 substituierte, gehe ich hingegen von einem Startwert [Formel] aus. Der Grund liegt darin, dass Archimedes ein Sechseck und ich ein Viereck verwendete. Führt man den Ansatz von Archimedes weiter, so kommt man zu der Formel:

  [Formel]

  Soweit ich es mit numerischen Mitteln beurteilen kann, konvergiert diese Formel leicht anders als meine erste. Bei Ludolphs Formel ändert sich das Verhalten in der gleichen merkwürdigen Weise wie Viètes Formel: Mein Rechner macht bei beiden keine Rundungsfehler mehr, die ja eigentlich entstehen müssten, wenn man die Wurzel aus einem Ausdruck (mit beschränkten Nachkommastellen) zieht. Wird bestimmt an meinem Rechner liegen.

  Ferner kann man sagen, dass meine Formel einen Bogen spannt von Archimedes (bzw. Ludolph) zu Euler (bzw. Vieta).

  Auch hier wieder meine Frage: Hat diese eben erwähnte Formel mal irgendwer so aufgeschrieben?

  --Die maske von pi 16:10, 3. Jan 2006 (CET)

  Darf ich hinzufügen, dass nur in meiner Herleitung, mit meinem Startwert sich das ganze in einem(!) Quadranten darstellen lässt; ohne Verlust von Anschaulichkeit oder Vollständigkeit? --Die maske von pi 16:27, 4. Jan 2006 (CET)

  Ich nehme all meine Behauptungen zurück.

  In einem Vorlesungsscript der Fachhochschule Mannheim, wurde die von mir beschriebene Formel bereits erwähnt unter dem Stichwort "Sehenvieleck".

  Abschließend kann ich sagen, dass die von mir gezeigte Herleitung nicht von Vieta verwendet wurde, da dieser bzw. Euler Trigonometrie nutzten. Archimedes und Ludolph müssen den Kreis zusätzlich mit einem Vieleck von außen umschreiben, um auf ihre Formeln zu kommen.

  In einer Randbemerkung habe ich erfahren, dass Van Roomen die hier zu letzt genannte Formel so formulierte. Seine Herleitung wurde jedoch verschwiegen.

  Nur meine zweite Formel wird nirgends erwähnt oder hergeleitet.

  Ich entschuldige mich und schließe diesen Beitrag mit der Frage, warum eine so einfache Herleitung und so einfache Formeln der breiten Öffentlichkeit vorenthalten werden?

  --Die maske von pi 17:38, 7. Jan 2006 (CET)

  Berechnung von "PI"

  Hallo alle, ich bin nicht wirklich nicht der hellste, aber die Berechnung von Pi geht doch ganz einfach über die Extremwertrechnung. Habe hier noch keine Artikel gelesen, aber für meine Kinder ist die Erklärung in Wikipedia viel zu kompliziert. Die Berechnung erfolgt doch einfach nur über die Annäherung der Sehne an den Kreisbogen. Wenn der Winkel gegen 0 geht, dann wird die Sehne gleich dem Kreisbogen. Ist doch ganz einfach. PI=sin(a/2)x360/a (a geht gegen 0) Warum so kompliziert?--217.185.107.72 23:30, 30. Jan 2006 (CET) Gruss, Jörg

  Hälst du deine Erklärung für eher "kindergerecht" als die im Text? ;-D --Sproink Sproink

  Bildherkunft

  Timo Müller/Counter Vandalism Unit 23:33, 30. Jan 2006 (CET)

  Wenn man den Sinus näherungsweise berechnen will, muss man das im Bogenmaß tun, und dafür braucht man π. (Wenn man spezielle Winkel wählt, geht das auch anders (z.B. kann man [Formel] mithilfe von [Formel] rekursiv berechnen, das gibt dann die Vieta-Formel.)--Gunther 23:35, 30. Jan 2006 (CET)

  [Formel]

  Hallo, ich weiß nicht ob das schon bekannt war, aber wir sieht es denn hiermit aus? [Formel]

  Aleksandar Markovic

  Wie berechnest Du denn das Integral? --DaTroll 14:15, 2. Feb 2006 (CET)

  Mit meinem Matheprogramm? Das kann mir die Stammfunktion raussuchen. Markovic

  Und wo guckt der Programmierer des Matheprogramms nach? Bzw. Wie wertet er die Stammfunktion, in der der Arkustangens auftaucht, aus? Letztere Frage kann ich beantworten: er guckt in diesem Artikel nach. --DaTroll 14:24, 2. Feb 2006 (CET)

  Kann sein, ich hatte mir bloß mit meinem 11. Jahrgang wissen überlegt, dass die funktion f(x)=sqrt(1-x^2) genau den oberen Teil eines Einheitskreises darstellt. Das Integral in diesem Intervall, also [-1|1] müsste demnach die Hälfte von Pi sein.

  Ja, das ist ja auch voellig richtig. Die Erkenntnis, dass Pi/2 die Flaeche eines Halbkreises mit Radius Eins ist, bringt einen jedoch im Vergleich zur Definition von Pi selbst nicht besonders weiter :-) --DaTroll 14:31, 2. Feb 2006 (CET)

  Natürlich, aber ich denke dass diese "Formel" weitaus handlicher ist als die Kettenbrüche und die unendlichen Wurzeln, und dass ich die einfach in den PC eingeben kann und Pi halbe bekomme.Markovic

  Es ist aber keine Darstellung. Mit dieser Formel kann erstmal niemand Pi ausrechnen. Er muss erst die Stammfunktion ausrechnen und wie man mit der Arkustangensreihe Pi ausrechnet, steht im Artikel. Am einfachsten ist es doch nach Deiner Logik, einfach Pi aus dem Taschenrechner zu holen. --DaTroll 14:39, 2. Feb 2006 (CET)

  Ich dachte, es gäbe da so Verfahren, um Integrale auch ohne Stammfunktion auszurechnen, aber ich bin kein Numeriker *fg* --Gunther 14:41, 2. Feb 2006 (CET)

  Soweit sind wir in Mathe noch nicht ;-). Meine Lehrerin war ja schon erstaunt darüber dass ich sie überhaupt Frage ob ich das so machen könne. Wir sind jetzt erst bei der Ableitungsfunktion von Sinus und Cosins.... langweilig. :-) Markovic

  Da sprichst Du sogar einen Punkt an der im Artikel etwas wenig behandelt wird, naemlich die Konvergenzgeschwindigkeit der Algorithmen. --DaTroll 14:49, 2. Feb 2006 (CET)

  Irgendetwas sollte doch auch zum arithmetisch-geometrischen Mittel dastehen...--Gunther 14:52, 2. Feb 2006 (CET)

  Das steht ja quasi bei der Ramanujan-Formel ;-) --DaTroll 17:16, 2. Feb 2006 (CET)

  Ah ja, irgendwie muss das dasselbe sein, wenn man das mit :en:elliptic integral vergleicht. Welcher explizite Wert des AGM wird denn da verwendet?--Gunther 17:21, 2. Feb 2006 (CET)

  Ich weiss es nicht. Aber es steht in Jonathan M. Borwein & Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, 1998, ISBN 047131515X drin. --DaTroll 17:24, 2. Feb 2006 (CET)

  Man muss das ganze in Polarkoordinaten umrechnen: x = r * sin(φ). Man kommt dann auf [Formel] und das ist, wenn man es ausrechnet genau π/2.--Akribix 02:10, 8. Sep 2006 (CEST)

  M_PI

  Der ANSI C Standard enthält die Konstante M_PI offenbar nicht und erfordert bei manchen Compilern sogar ein #define um sie in math.h zu veröffentlichen (prominentes Beispiel: MSVC). Könnte das jemand im Artikel ändern? Volatile 23:53, 13. Mär 2006 (CET)

  Ich habs auch nicht im Standard gefunden und den konkreten Hinweis auf C mal entfernt. --DaTroll 21:37, 14. Mär 2006 (CET)

  Hilfe bitte mit der Englische Artikel "Pi" (Kreiszahl)

  Die Seite http://en.wikipedia.org/wiki/Pi ist sehr unordentlich (auch, entschuldigen Sie mein schlechtes Deutsches!). Dank für Ihre freundliche Unterstützung. 203.100.223.232 15:16, 4. Apr 2006 (CEST)

  Sucht bitte mal im Artikel nach "Zffern" und ersetzt es mit "Ziffern".

  Erledigt, danke für den Hinweis.--Gunther 22:00, 12. Apr 2006 (CEST)

  4 Milliarden Stellen per FTP?

  Webseite Yasumasa Kanadas (englisch) 4 Milliarden Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform)

  also ich finde auf dem FTP-Server nur maximal 200 Millionen Nachkommastellen zum Download Oo --ツンヅくん 13:19, 27. Mai 2006 (CEST)

  Definition 2

  Zur Unterbindung einer Edit-Wars hier einige Anmerkungen:
  Im Artikel stehen drei Definitionen, welche angeblich unabhängig sind, was nicht zutrifft:

  • Die Def. über die Fläche ergibt sich durch Integration des jeweiligen Umfangs über den Radius:

  [Formel]

  und damit A = pi für r = 1.

  • Die Definition über den Kosinus ist eigentlich auch keine neue. Das Argument des Kosinus ist die Länge des Bogens im Einheitskreis und damit ein Teil des Umfangs. Für den rechten Winkel (Viertelkreis) = U/4 und damit pi / 2.

  Fazit: Alles geht auf die Definition per Umfang zurück. Das sollte auch im Artikel dargestellt werden. Bsmuc64 13:41, 2. Jun 2006 (CEST)

  Natürlich liefern die verschiedenen Definitionen dieselbe Zahl, wäre ja sonst auch irgendwie blöd ;-) Und der Bezug zwischen einem Kreis und [Formel] ist doch so wenig offensichtlich, dass man mit Recht von wesentlich unterschiedlichen Definitionen sprechen kann.--Gunther 13:39, 2. Jun 2006 (CEST)

  Ok, die Reihe kann man als separat durchgehen lassen, aber die Def. per Fläche ist nur eine Integration von der Umfangsdefinition. Das ist wirklich nichts Separates. Bsmuc64 13:50, 2. Jun 2006 (CEST)

  Hast Du Dir mal überlegt, wie lang das Argument wird, wenn man es präzise begründet?--Gunther 14:01, 2. Jun 2006 (CEST)

  Der Artikel behauptet nicht, dass die Definitionen unabhaengig seien, sondern nur, dass es verschiedene gleichwertige gebrauchliche gibt. Dass die Definition ueber den Umfang die aelteste ist, ist auch nicht richtig, denn auch Archimedes war natuerlich schon klar, dass das mit der Flaeche dasselbe in Gruen ist. Der quadratische Zusammenhang zwischen Flaeche und Umfang war schliesslich schon Euklid bekannt. --P. Birken 14:37, 2. Jun 2006 (CEST)

  Bitte um Hinzufügung

  Ein Vorschlag zu einer Hinzufügung unter "Sonstiges (für Liebhaber der Zahl π")

  Ein naturbelassen mäandernder Fluss wäre, würde man ihn "strecken", "pi-mal" so lang.

  Leider keine zuverlässige Quelle, kann aber am Beispiel der Maas und Nebenflüssen des Amazonas und weiteren "nachgemessen" werden (Kartenprojektion beachten!).

  Danke & Grüße Gast G (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 80.132.133.48 (80.132.133.48 • Beiträge). 10:27, 21. Jun 2006)}

  Das Gerücht habe ich auch schon gehört, aber ohne seriöse Quelle ist das wertlos, zumal wenn es nur bei bestimmten Flüssen funktioniert. (Unter den richtigen Bedingungen wird ein derartiger Fluss ja auch so lange weiter seine Schleifen vergrößern, bis er auf der anderen Seite des Umlaufberges durchbricht. Wie passt die zugehörige Längenänderung zur Theorie?) --Gunther 10:40, 21. Jun 2006 (CEST)

  Neue Reihendarstellung für PI?

  Hallo, ich hab eine Reihendarstellung für PI gefunden. Ist das eine neue oder kennt das eh schon jeder?

  [Formel]

  Eine sehr ähnliche steht im Artikel, und mein Computeralgebrasystem meint, dass der Wert nicht [Formel], sondern

  [Formel]

  sei (in Übereinstimmung mit Näherungswerten).--Gunther 14:55, 29. Jun 2006 (CEST)

  Hab mich geirrt Die richtige Reihe lautet:

  [Formel]

  Wegen

  [Formel]

  ist das i.w. die Leibniz-Reihe.--Gunther 15:40, 29. Jun 2006 (CEST)

  element der reellen zahlen?

  ist PI jetzt eine relle zahl oder nicht? man sollte wirklich mit da rein schreiben, ob PI einer relle zahl ist oder nicht, finde ich. ... für dumme leute wie mich. wir wollen auch was lernen. --80.137.192.89 19:15, 11. Jul 2006 (CEST)

  Dein Hinweis ist berechtigt. Ich habe es bei "Irrationalität und Transzendenz" dazugetextet.--JFKCom 21:33, 11. Jul 2006 (CEST)

  (en) Errors in the French poem

  It is four verses, not two (see the rhymes). The word "connaître" should be "apprendre" or else the verse has 13 syllables, not 12.

  • Google finds "connaître", and also "apprendre". May we ask in french-wiki? There they already start a discussion for that question.
  • "the verse has 13 syllables, not 12" ... I do not understand.--Akribix 10:45, 5. Sep 2006 (CEST)

  Verschieben

  Wäre es nicht sinnvoll, den Artikel nach Pi zu verschieben und eine Begriffsklärung einzubauen. Bei dem Wort Pi denkt ja wohl niemand ernsthaft an ein Musikinstrument oder einen Rapper.--Max_Hester Max_Hester Max_Hester/Bewertung 20:48, 18. Aug 2006 (CEST)

  Sehe keine Notwendigkeit.--Gunther 22:21, 30. Aug 2006 (CEST)

  Wieso?--Max_Hester Max_Hester Max_Hester/Bewertung 14:21, 3. Sep 2006 (CEST)

  Pi ist zunächst einmal ein griechischer Buchstabe und keine Zahl.--Gunther 14:42, 3. Sep 2006 (CEST)

  Und? Kant ist auch ein deutscher Name, trotzdem versteht man unter Kant vor allem Immanuel Kant.--Max_Hester Max_Hester Max_Hester/Bewertung 17:00, 3. Sep 2006 (CEST)

  Geschichte - Kein chronologischer Text

  Im Abschnitt Geschichte wird von einem Zeitpunkt zum anderen gesprungen. Quer durch unsere komplette Zeitskala. Durch das ganze hin und her fehlt der Faden oder zusammenhängende Informationen werden einzeln gelieftert. So kommt es z.B. zustande, dass "Archimedes" im Abschnitt Geschichte 14 mal vorkommt. Meint ihr nicht auch, dass sich das noch etwas in eine chronologische Reihenfolge bringen läßt? --Akribix 10:37, 5. Sep 2006 (CEST)

  Wikilinks

  Hallo!

  Obwohl hier steht, man kann die Seite nicht ändern, hab ich es wohl doch geschafft (???).

  Naja, wie auch immer, nachdem ich nicht der große Mathematiker bin, wollte ich meine Änderung doch bekannt geben - die betrifft auch nur einen Wikilink - William Jones aus dem Link ist nicht der, der er lt. dem übrigen Text sein sollte.

  Generell ist die Linkqualität zu diesem Namen sehr bedenklich - falls jemand nun etwas über jenen hier gemeinten William Jones weiß, steht die Seite nun offen.

  So long,

  DNA 12:24, 15. Sep 2006 (CEST)

  :en:William Jones (mathematician). Und die Seite ist weiterhin halbgesperrt, bitte lies den Hinweis genauer.--Gunther 12:31, 15. Sep 2006 (CEST)

  Wollt nur mitteilen das die Band Welle:Erdball (www.welleerdball.de) auf ihrer aktuellen CD gleich drei Lieder der Zahl Pi gewidmet hat:

   1. Pi
   2. Mathematique
   3. Weltenzahl
  

  wobei sich das 3. Lied Weltenzahl ergibt indem man die Lieder 1 und 2 gleichzeitg abspielt.

  Mehr hab ich nicht zu "meckern"

  Gruß DevilNichtTF

  Exzellentes Bild?

  Eine Frage, warum ist das Bild:

  Bildherkunft

  nicht im Artikel enthalten? Es wurde in die Liste der exzellenten Bilder aufgenommen und ich empfinde es als bessere Veranschaulichung von π als beispielweise dieses:

  Bildherkunft

  , das momentan verwendet wird. Ich möchte nur nichts verändern, ohne zu fragen, da ich denke, dass es schon einen Grund haben wird, warum das Bild nicht im Artikel enthalten ist.. :) Ich persönlich fände es jedoch sehr schön, wenn es eingebaut würde! Liebe Grüße --Christiane123 16:20, 22. Nov. 2006 (CET)

  Keine Ahnung, das obere Bild habe ich noch nie gesehen. Ehrlich gesagt finde ich das aktuelle aber leicht besser: im exzellenten ist etwas viel Schnickschnack, weniger ist manchmal mehr. Optimal waere IMHO eine Kombination der beiden, sprich noch ein Koordinatensystem im aktuellen Bild. --P. Birken 16:38, 22. Nov. 2006 (CET)

  Jetzt ist es ja doch da :-) find ich gut, weil es ein bisschen einfacher zu verstehn ist, auch wenn das mit dem vielen schnickschnack schon stimmt... Aber die Lösung mit beiden Bildern ist ganz akzeptabel denke ich --Christiane123 16:09, 25. Nov. 2006 (CET)

  Das ein exzellentes Bild im Artikel abgelehnt wurde gab es wohl noch nie, aber ich kann mir vorstellen, dass es Leute gibt, die nicht gerne beide Animationen im Artikel haben.

  Und noch eine Frage. Wenn ich die Animation mit dem Aufbiegen des Kreises hier in der Diskusion sehe, hat der Kreis "Vorstufen". Im Artikel aber nicht. Seht ihr das auch so? Woral liegt das? Ist das Absicht? --Jarlhelm 03:15, 26. Nov. 2006 (CET)

  Ich habs wieder rausgenommen. Es ist aus den angebenen Gründen nicht wirklich exzellent. Warum irgendwelche Leute es exzellent gewählt haben, weiß ich nicht, es ist jedoch kein Grund, sich so ein Bild aufzwingen zu lassen. --P. Birken 20:45, 28. Nov. 2006 (CET)

  Dezimal-Stellen / Kettenbruch

  Im Abschnitt Kettenbruch heißt es: "Die gleiche Genauigkeit wie bei den 200 Nachkommastellen...". Das "den" scheint sich auf die Aufzählung der ersten 100 Stellen zu beziehen. Gleichzeitig wird die Zahl 200 genannt. Je nachdem was inhaltlich richtig ist, sollte man die Zahl ändern oder das "den" streichen, weil es missverständlich ist und der Satz auch ohne korrekt ist. Ist nur eine Kleinigkeit, aber es ist immer schöner, wenn´s eindeutig ist. Dank an den angemeldeten Benutzer, der sich drum kümmert!

  Früher waren da mal 200 Nachkommastellen angegeben, als dies auf 100 gekürzt wurde, ist der folgende Abschnitt wohl nicht angepasst worden. Danke für den Hinweis. --P. Birken 18:33, 29. Nov. 2006 (CET)

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  Diese Definition bzw. Erklärung des Begriff Pi (Kreiszahl) und dessen Bedeutung wurde zuletzt am 25.7.2007 aktualisiert (Glossar Lexikon Enzyklopädie).