Portfoliotheorie

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Der Artikel Portfoliotheorie gehört zur Kategorie: Kapitalmarkttheorie, Finanzierung

Die Portfoliotheorie ist ein Teilgebiet der Finanzierung und untersucht das Investitionsverhalten an Kapitalmärkten (z. B. Aktienmarkt). Die Portfoliotheorie geht auf Harry M. Markowitz (Portfolio Selection) zurück und unterstellt gewisse Annahmen an das Verhalten von Investoren und erzielt so gewisse Aussagen über das Investitionsverhalten.

Zielsetzung

Ziel der Portfoliotheorie ist es, Handlungsanweisungen zur bestmöglichen Kombination von Anlagealternativen zur Bildung eines optimalen Portfolios zu geben. In diesem optimalen Portfolio werden die Präferenzen des Anlegers bezüglich des Risikos und des Ertrags sowie die Liquidität berücksichtigt. Dadurch soll das Risiko eines Wertpapierportfolios, ohne eine Verringerung der zu erwarteten Rendite, minimiert werden. Notwendige Voraussetzung hierbei ist, dass die Wertpapiere nicht vollständig korelliert sind.

Die Portfoliotheorie ist das theoretische Grundgerüst der in der Praxis des Portfoliomanagements verwandten Verfahren.

Annahmen

Die Portfoliotheorie unterstellt einen Investor, der sich in seinem Verhalten ausschließlich an Zahlungsgrößen (Cash flows) orientiert und sein Vermögen mehren will. Er handelt rational und nutzenmaximierend: Das bedeutet, er informiert sich über die Gegebenheiten des Kapitalmarktes und entscheidet sich, indem er Chancen und Risiken gegeneinander abwägt. Dabei scheut er das Risiko (man spricht auch von Risikoaversion). Risikoaverses Verhalten bedeutet, dass ein höheres Risiko nur dann in Kauf genommen wird, wenn der erwartete Ertrag überproportional steigt. Über die Frage, welche Information aus den beobachtbaren Daten des Marktes gewonnen werden kann, hat es in der Finanzierung eine intensive Debatte gegeben (zurückgehend auf die bahnbrechenden Arbeiten von Eugene Fama zur Informationseffizienz).

Um die Analyse zu vereinfachen, nimmt man weiter an, dass der Kapitalmarkt vollkommen ist.

Kern der Portfoliotheorie ist die Unterscheidung in systematisches und unsystematisches Risiko.

Systematisches Risiko vs. Unsystematisches Risiko
inhärentes Risiko einer Anlage	aktienspezifisches Risiko
betrifft alle Wertpapiere am Markt gleich	kann durch Diversifikation verringert werden
Vergütung durch Risikoprämie	keine Vergütung durch Risikoprämie
Beta-Faktor

Effiziente Portfolios

Ein Portfolio dominiert ein anderes Portfolio, wenn die erwartete Rendite größer oder gleich dem anderen Portfolio ist und die Varianz kleiner oder gleich dem anderen Portfolio ist. Dabei ist ausgeschlossen, dass es sich um dasselbe Portfolio handelt.

Ein Portfolio heißt effizient, wenn es von keinem anderen Portfolio dominiert wird, d.h. wenn kein anderes Portfolio existiert, welches bei gleicher Renditeerwartung ein geringeres Risiko bzw. bei vergleichbaren Risiko eine höhere Rendite hat.

Die Effizienzlinie ist der geometrische Ort aller optimalen Ertrags-Risiko-Kombinationen.

Effiziente Portfolios aus risikolosem und riskanten Wertpapier

Anhand von zwei Wertpapieren lässt sich ein optimaler Risiko-Rendite-Zusammenhang bestimmen. Das heißt, dass versucht wird in verschiedenen Fällen abhängig von der Risikopräferenz des Anlegers die optimale Strategie zu ermitteln.

Wir betrachten ein risikoloses (Rendite: [Formel]) und ein riskantes Wertpapier (Rendite [Formel]). Zusätzlich wollen wir die Möglichkeit von Leerverkäufen (LV) annehmen. In den behandelten Fällen wird ein riskantes Wertpapier, das mit Kurs- und Ausfallrisiko (auch: Währungsrisiko) behaftet ist betrachtet. Die risikolose Anlage kann durch ein staatliches Wertpapier simuliert werden. Die Laufzeit muss dabei mit der Planungsperiode übereinstimmen. Auf diese Weise lassen sich für das risikolose Instrument Zinsänderungs- und Ausfallrisiken ausschließen.

Es lassen sich vier Fälle unterscheiden:

1. Fall: [Formel] ohne Leerverkauf

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins. Es gibt keine Leerverkäufe.

Die Effizienzlinie ist eine Gerade aus Ertrags-Risiko-Kombinationen. [Formel] wobei [Formel] mit x aus [0,1]

Der Rendite-Risiko-Zusammenhang ist linear.
Der Vorfaktor des Portfoliorisikos entspricht einer normierten Risikoprämie. Dies ist die Überrendite des riskanten Wertpapiers dividiert durch dessen Risiko.

In diesem Fall 1 mit [Formel] ohne Leerverkauf sind alle Portfolios auf der Gerade, d.h. alle möglichen [Formel] -Kombinationen, effizient.

======Herleitung====== Gesucht ist [Formel] in Abhängigkeit vom Mischungsverhältnis [Formel] mit [Formel] und [Formel].

  * [Formel]
  * aus [Formel] folgt dann  [Formel] und

  * [Formel]

2. Fall: [Formel] mit Leerverkäufen

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist größer als der risikolose Zins. Leerverkäufe sind zulässig: Bei der Zulässigkeit von Leerverkäufen lassen sich zwei Fälle unterscheiden.

Entweder das risikolose Wertpapier oder das riskante Wertpapier wird verkauft.

Leerverkauf der risikolosen Anlage

Der Leverage-Effekt besteht darin, dass bei Leerverkauf des risikolosen Instruments der Erwartungswert des Portfolios steigt, aber auch das Risiko in Form größerer Streuung steigt. Durch Anpassungen an der Leverage Formel [Formel]

Leerverkauf der riskanten Anlage

[Formel], wobei [Formel] ist ist kleiner als die geforderte Mindestrendite.

Der formale Ablauf besteht im Ausleihen einer Aktie. Dies bedeutet, dass der Partei dann alle aus dem Besitz der Aktie resultierenden Zahlungen erstattet werden. Die Zahlungsreihe hat dann gewissermaßen ein negatives Vorzeichen.

Die Rendite, die aus diesem Leerverkauf resultiert ist [Formel], wobei das identische Risiko vorliegt, wie wenn man im Besitz der Aktie ist. Deshalb sind durch Leerverkauf der riskanten Anlage erzeugte Portfolios nicht effizient.

3. Fall [Formel] ohne Leerverkauf

Die Rendite des riskanten Wertpapiers ist kleiner als der risikolose Zins. Es gibt keine Leeverkäufe

In diesem Fall ist ein Portfolio, das nur in das risikolose Instrument investiert effizient.

4. Fall [Formel] mit Leerverkäufen

Leerverkäufe sind zulässig: Durch den Leerverkauf des riskanten Instruments lässt sich die Portfoliorendite unendlich steigern.

Effiziente Portfolios aus zwei riskanten Wertpapieren

Es lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

Die Rendite des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten und die Varianz des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten.

Die Aufhebung der Leerverkaufsbeschränkung führt nicht zu Änderungen im Minimum-Varianz-Portfolio wenn die Korrelation [Formel] bestimmte Werte annimmt, die sich aus dem Verhältnis der Standardabweichungen beider Titel ergibt. Dies bedeutet dass beide Wertpapiere im Ausgangsportfolio mit positiven Anteilen vertreten sind.

Iso-Ertragslinien

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt bei [Formel]

Budgetgerade

Iso-Ertragslinie [Formel]

Iso-Risikolinien

Ein optimales Portfolio nach diesem Kriterium liegt nicht an den Extrempunkten.

Budgetgerade ohne Leerverkaufsmöglichkeit

Iso-Ertragslinie [Formel]

Die Rendite des zweiten Wertpapiers ist größer als die des ersten und die Varianz des zweiten Wertpapiers ist kleiner oder gleich der ersten.

Analytische Bestimmung des global varianzminimalen Portfolios

unkorrelierte Wertpapiere

Bei unkorrelierten Wertpapieren tritt immer ein Diversifikationseffekt auf.

[Formel]

korrelierte Wertpapiere

Risikodiversifikation in Abhängigkeit des Korellationskoeffizienten [Formel]:

Form eines Hyperbelastes

Die Wahl des Portfolios ergibt das Minimum-Varianz-Portfolio:

[Formel]

Ist die Kovarianz bekannt so sieht die Formel im ersten Fall wie folgt aus: [Formel]

Zu beachten

Wenn zwei Wertpapiere zur Auswahl stehen, heißt das nicht, dass eins von beiden effizient sein muss. Gegenbeispiel: [Formel] für 2 Wertpapiere mit [Formel] und [Formel] gilt [Formel]. MVP bezeichnet das Minimum-Varianz-Portfolio.

Effiziente Portfolios aus drei riskanten Wertpapieren

2 Fälle

Global varianzminimales Portfolio mit negativen Anteilen:

Dies lässt sich in einem [Formel]-[Formel]-Diagramm, welches die Aufteilung auf Wertpapier 1 und 2 (und damit implizit auf Wertpapier 3) sowie in einem [Formel]-[Formel]-Diagramm, welches die Effizienzlinie zeigt darstellen.

[Formel]-[Formel]-Diagramm: x_3 ergibt sich aus dem Rest zwischen x1 und x3. Die Ordinate ist dann der Ort aller Mischungen aus Wertpapier 1 und 3 und die Abzisse die Mischung aus den Wertpapieren 2 und 3.

Global varianzminimales Portfolio mit positiven Anteilen:

======Herleitung====== Aus x_1+x_2+x_3=1 ergeben sich zwei abhängige Variable.

  [Formel]

  [Formel]= [Formel][Formel] 
      [Formel] [Formel]

Effiziente Portfolios für n Wertpapiere

Dies lässt sich nur noch rechnerisch bestimmen mit [Formel]

Es müssen dabei die Restriktionen:

Mindestrendite
Budgetbedingung
eventuell auch Leerverkaufsbeschränkung berücksichtigt werden.

Mischung effizienter Portfolios

Bei Dachfonds stellt sich bspw. die Frage ob eine Mischung von effizienten Portfolios wieder ein effizientes Portfolio ergibt. Dies muss nicht zutreffen, da

im Falle, dass Leerverkäufe nicht zulässig sind, die Effizienzlinie geknickt ist. Bildet man nun ein Portfolio aus zwei Wertpapieren auf einem unterschiedlichen Teil der Linie, liegt dieses Portfolio nicht mehr auf der Effizienzlinie.
im Fall, dass Leerverkäufe zulässig sind, ein Leerverkauf eines effizienten Portfolios ineffiziente Portfolios erzeugen kann.

Optimales Portfolio

Man versucht ein optimales Portfolio zu finden. Dies ist abhängig von der Risikopräferenz des Investors. Bei optimalen Portfolios gilt, dass die Steigung der Indifferenzkurve des Investors gleich der Steigung der Effizienzlinie ist.

Die komparative Statik ergibt, dass der Anteil des riskanten Wertpapiers:

stets größer Null ist
wächst mit der Überschussrendite
fällt mit steigendem Risiko des riskanten Wertpapiers
fällt mit steigender Risikoaversion des Investors

Die Investoren, die sich an der erwarteten Rendite und dem erwartetem Risiko orientieren, halten nie ein vollständig risikoloses Portfolio. Dies liegt daran, dass die Investoren im [Formel]-[Formel]-Diagramm eine waagerechte Tangente der Indifferenzkuve im Punkt [Formel] besitzen.

Ergebnisse

Das wichtigste Ergebnis der Portfoliotheorie ist die Risikodiversifikation: es existiert für jeden Investor ein so genanntes optimales Portfolio aus allen Anlagemöglichkeiten, das dessen Risiko-Chancen-Profil bestmöglich abbildet. Dieses optimale Portfolio hängt dabei weder von dem ursprünglichen Vermögen des Investors noch seiner unmittelbaren Risikoeinstellung ab. Vielmehr spielen nur die Risiko-Rendite-Kombinationen der gehandelten Titel eine Rolle. Der Beweis der Aussage geht auf James Tobin zurück, nach ihm wird dieses Theorem auch Tobin-Separation genannt.

Kritik

Sowohl die Annahmen als auch die Aussagen werden von der ökonomischen Wissenschaft durchaus kritisch bewertet, dennoch gilt die Portfoliotheorie als gesichert.
Prognosen sind ungenau, da sie sich nur auf historische Daten beziehen.
Die Anlegerpräferenzen sind nicht eindeutig operationalisierbar.
In der Realität sind Renditen nicht normalverteilt.
Es besteht ein enormer Aufwand der Datenerhebung. Bei 100 Wertpapieren sind mehr als 5000 Werte zu erheben und 100 Gleichungen zu lösen.
Realistischere, dynamische Modelle sind nicht überschaubar.
Es besteht in der Regel kein vollkommener Kapitalmarkt.
Auswirkungen die eine Investition auf den Kurs haben könnte, werden nicht berücksichtigt.

Siehe auch

Capital Asset Pricing Model

Weblinks

Grundzüge der Portfoliotheorie bei DeiFin.de

Literatur

Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield, Jeffrey Jaffe: Corporate Finance. 7. ed., McGraw-Hill Irwin, Boston 2005, ISBN 0-07-282920-6
Harry M. Markowitz: Portfolio Selection, Journal of Finance 7(1952), S. 77-91.
Detlef Mertens: Portfolio-Optimierung nach Markowitz; ISBN 3937519092
Kurt M. Maier: Risikomanagement im Immobilien- und Finanzwesen; ISBN 3831407568

Diskussion der Autoren über den Artikel: Portfoliotheorie

Überarbeiten

Moin, moin miteinander.
Der Artikel holt zu weit aus und kann sich nicht auf das wesentliche Konzentrieren. Zum Schluß sind für den Einsteiger der ein Lexikon aufschlägt um sich schlauer zu machen, mehr Fragen offen, als beantwortet wurden. Unzumutbar ist, daß in den Absätzen mit Fragenzeichen gearbeitet wird, ohne das auf die Fragen eine Antwort gegeben wird. Der Artikel stellt ein Rundumschlag von Fachbegriffen dar, ohne das man intensiv auf den Kern der Portfoliotheorie mit einfachen und deutschen Worten eingeht. Meines Erachtens fehlt auch ein Absatz der konkret beschreibt mit welchen Werkzeugen und Maßnahmen ein Anleger vorgehen muß, um sein Anlagevermögen nach der Portfoliotheorie zu steuern und zu optimieren. --Wandahle 18:00, 4. Jan 2006 (CET)

Zuwenig Bloomberg geschaut? (Ich weiß, das ist nicht konstruktiv. Aber irgendwie sind die Finanzmarkt-Leute alle so, wie dieser Artikel. Die Menschen, die dieses Vorurteil wiederlegen habe ich noch nicht kennengelernt.) --Michelangelo 15:33, 17. Jan 2006 (CET)

Gude! Ja, hier laufen einige Dinge durcheinander. Was mir grundsätzlich auffällt: Hier wird die nMPT (norminative moderne Portfolitheorie) so gut wie überhaupt nicht erklärt, zum anderen das CAPM und APT direkt erwähnt, wobei das nMPT ein Modell ist, dass den Effekt der Risikodiversifikation erklärt, die anderen beiden aber den Prozess der Preisbildung von Anlageobjekten. Und das schon unter dem Punkt Fragestellungen und Modelle. Es fehlen auch: -Risiko (Varianz/Standardabweichung/LPM) - Bernoulli-Prinzip - Tobin-Seperation - Einperiodenmodell usw.usf. Ich würde gerne den ganzen Text überarbeiten, kann man irgendwo mal eine Testversion hinstellen? Generell geht es mir darum, ob man eher ein Kochrezept mit allen mathematischen Grundlagen hinstellen soll (analog zum englischen Wiki) oder nur einen Prosatext? Gruß Schubbiaschwilli 17:55, 17. Jan 2006 85.75.113.244 nachgetragen von --Wandahle 19:03, 17. Jan 2006 (CET) + Gruß Schubbiaschwilli

Hallo Schubbiaschwilli. Es gibt mehrere Möglichkeiten: 1) Du kannst eine eigene Benutzerseite anlegen und darauf das Teil Testweise publizieren und andere zur Revision einladen. Dann könnte man sagen, der Text unterliegt deiner Urheberschaft wenn du Ihn dann in den Artikel kopierst. :-)) Das kann aber sein, das irgendjemand hier wieder dran Anstoß nimmt, obwohl ich diesen Vorwurf des Copyrightmißbrauchs für unfair halte, weil die Benutzerseite auch für solche Zwecke geschaffen wurde. 2) Du kannst den Artikelentwurf auch auf die Diskussionsseite veröffentlichen, aber dann werden eventuell noch mehr meckern. 3) Da es genug Zensoren und Löschtrolle auf WP gibt, kannst du den Artikel gleich richtig im Artikelnamensraum reinstellen. Du wirst dich schon freuen, wie Sie deinem Artikel fachgerecht Marx, Lenin und Engels konform umbauen. :-)) Meine persönlicher Wunsch an dich: Keine oder nur möglichst wenig Fremdwörter (Latein z.B. gleich danach übersetzen), und noch weniger DENGlisch bitte. Für englische Fachartikel gibt es halt die englische Wikipedia. :-)) Sonst braucht man eben halt noch einen Englischübersetzer und das ist ja nicht das Ziel eines Lexikons. Ansonsten, wenn es verschiedene Untertheorien zu der MPT gibt, ist die Beschreibung der Unterschiede zu den jeweiligen Theorien sehr hilfreich. --Wandahle 19:04, 17. Jan 2006 (CET) +

Nachtrag! Beachte auch Pro und Contra, Vorteile und Nachteile, sowie positive und negative Dinge in deinen Texten bzw erwähne das. Damit erhöhst du die Chance das die Linken hier in diesem Medium den Artikel nicht linkslastig umbauen, bzw vandalisieren und zensieren. Bei andauernden Reverts/Löschungen kannst du Sie freundlicherweise auf diese Seite aufmerksam machen. :-)) --Wandahle 19:10, 17. Jan 2006 (CET)

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Diese Definition bzw. Erklärung des Begriff Portfoliotheorie und dessen Bedeutung wurde zuletzt am 25.7.2007 aktualisiert (Glossar Lexikon Enzyklopädie).