Toplinks zu diesem Thema:
Rahmen, Rente
Der Artikel Riemannsche Mannigfaltigkeit gehört zur Kategorie: Differentialgeometrie, Mathematischer Raum
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein Riemannscher Raum (nach Bernhard Riemann) ist die mathematische Beschreibung einer gekrümmten Fläche, auf der anders als in der Ebene z.B. die kürzesten Strecken zwischen Punkten nicht Geradenstücke, sondern gekrümmte Kurven sind, und die Winkelsumme von Dreiecken nicht unbedingt 180° ist. Der etwas allgemeinere Begriff der pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ist in der Relativitätstheorie von entscheidender Bedeutung.
Mathematische Definition
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltigkeit M mit einer Funktion g, die in jedem Punkt [Formel] ein Skalarprodukt des Tangentialraums [Formel] definiert, d.h. eine positiv definite symmetrische Bilinearform
- [Formel],
- [Formel]
g heißt Riemannsche Metrik, ist aber keine Metrik im Sinne der metrischen Räume. Man kann aber mit Hilfe von g eine Metrik im Sinne der metrischen Räume wie folgt definieren:
- [Formel]
- [Formel]
Die so definierte Metrik d induziert wieder die ursprüngliche Topologie von M. Weil man zeigen kann, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltikeit Riemannsche Metriken besitzt, bedeutet dies, dass jede differenzierbare n-dimensionale Mannigfaltikeit metrisierbar ist.
Ein Weg, der lokal (d.h. für ausreichend nahe beieinander liegende Punkte) die kürzeste Verbindung realisiert, heißt Geodäte.
Beispiel
Wir möchten eine Halbkugel als Riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen: Die Funktion [Formel] hat als Bild die obere Halbkugel (ohne Rand) [Formel] Die partiellen Ableitungen von [Formel]
[Formel] und [Formel] sind für alle [Formel] linear unabhängig. Das bedeutet, dass das Differential [Formel] von [Formel] vollen Rang hat, daher ist [Formel] eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und hat die Riemannsche Metrik
[Formel],
wobei [Formel] Vektoren tangential am Punkt [Formel] und [Formel] das Standardskalarprodukt auf [Formel] ist.
Anschauung
Der Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit fasst die anschauliche Vorstellung einer gekrümmten Fläche. (Allerdings nur insoweit, als diese Krümmung nur mit Hilfe von Entfernungsmessungen entlang der Fläche und ohne Rückgriff auf den umgebenden Raum festzustellen ist.) Geht man beispielsweise vom Nordpol der Erde in irgendeine Richtung 10000 km weit, so erreicht man den Äquator, man kann ihn also als "Kreis" um den Nordpol mit "Radius" 10000 km auffassen. Er hat aber nicht die erwartete Länge
- [Formel]
Die mathematische Entfernungsmessung funktioniert nach dem physikalischen Prinzip der Momentangeschwindigkeit, d.h. die Länge eines Weges ergibt sich aus dem Mittelwert der Geschwindigkeiten, mit denen der Weg beschritten wird, multipliziert mit der Zeit. Die mathematische Präzisierung der Momentangeschwindigkeit (als Vektor) ist der Tangentialvektor, und eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist mathematisch nichts anderes als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, auf der es eine kohärente Längenmessung für Tangentialvektoren gibt.
Geschichte
Der Begriff, im wesentlichen schon in seiner modernen Form (von parakompakten Räumen war damals noch nicht die Rede, statt mit Kurven und Tangentialvektoren wurde mit infinitesimalen Linienelementen operiert), wurde von Bernhard Riemann in seinem Habilitationsvortrag Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen am 10. Juni 1854 an der Universität Göttingen eingeführt. Gauß' Theorie der gekrümmten Flächen war eine extrinsische Beschreibung, d.h. mithilfe des umgebenden Raumes, Riemanns intrinsischer Ansatz ist dagegen ganz im Geiste der modernen Mathematik. Seit Anfang des 19. Jahrhunderts waren so genannte nichteuklidische Geometrien diskutiert worden. Die Riemannsche Geometrie ordnet sie in einen allgemeinen Rahmen ein, die dort betrachteten "Geraden" sind Geodäten für gewisse natürliche Riemannsche Metriken. Der Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit bildete später auch die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie.
Die Möglichkeit, den uns umgebenden physikalischen Raum mit verschiedenen Maßbegriffen ausstatten zu können, führte im Laufe der zweiten Hälfte des 19. Jh. zur Unterscheidung des physikalisch Wahren vom mathematisch Wahren und damit zur Etablierung der Mathematik als eigenständiger Wissenschaft.
Weblinks
- Bernhard Riemann: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Inauguralvorlesung, Thema von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen
Diskussion der Autoren über den Artikel: Riemannsche Mannigfaltigkeit
Unverständlich
Dieser Artikel ist leider ohne ein paar Semester Mathe-Studium völlig unverständlich (und danach brauch man ihn nicht mehr): Zur Erklärung werden lauter wieder unbekannte und unerklärte Begriffe benutzt:- Wegelement
- [Formel]
Zumindest eine halbwegs anschauliche Erklärung (Parallelen ...) wäre angebracht. -- Rainer Bielefeld Rainer Bielefeld 01:11, 4. Jan 2003 (CET)
Hallo Lutz, danke, dass du dich des Artikels angenommen hast. Er ist nun schon viel informativer, nicht zuletzt aufgrund des Aufbaus für Nichtmathematiker (wie mich), für die n-dimensionale Mannigfaltigkeit M doch irgendwie nach böhmischen Bahnhöfen klingen, aber immer noch sehr unverständlich. Ich würde vorschlagen, die Gliederung grundlegend zu ändern, da ich glaube, dass dann eine allgemeinverständlichkeit wesentlich leichter erzielbar ist. Ich denke mir das so, dass zunächst einmal dort steht, dass der Riemann-Raum so etwas wie eine alternative Raumbeschreibung zur „gewohnten“ euklidischen Geeometrie ist, mit allgemeinverständlicher Darstellung, was den Riemann-Raum vom euklidischen unterscheidet. Dann könnte die Historie evtl. darstellen, warum überhaupt es jemand für zweckmäßig hielt, solche Überlegungen anzustellen, und erst dann käme der "mathematische Teil". Ich selbst kann so eine Umstrukturierung mangels Fachwissen leider nicht leisten. -- Rainer Bielefeld Rainer Bielefeld 13:18, 11. Mär 2005 (CET)
Fortschritte bei der Verständlichkeit
Hallo Gunther, danke für deine Arbeit am Artikel und die Rückfrage! Die verständlichkeit ist im Werden, aber m.E. noch nicht gegeben. Folgende Haupthindernisse müssten wohl noch nach und nach aus dem Wege geräumt werden:- "intrinsisch" müsste entweder in einem Artikel (Mein wikilink auf nicht vohandenen Artikel) oder zumindest mit einem kurzen (d.h. ...) erklärt werden.
- Mannigfaltigkeit muss derzeit als nicht erklärt werden, bis sich der Unvorgebildete durch alle Wikilinks geklickt hat, hat er vergessen, wonach er eigentlich suchte ;-) ;
- Positiv definit ist nicht erklärt
- Metrik ist nicht erklärt (Wikilink?)
- Lässt sich vielleicht mit wenigen Stichpunkten angeben wie die . Er verallgemeinerte damit Erkenntnisse über die Existenz nichteuklidischer Geometrien aussah (nur Grundgedanke)?
- Ganz allgemein ist die Geschichte mit der Nord-Südpol-Wanderung noch nicht vollständig in die Erläuterungen integriert.
- drei Wörter nach "intrinsisch" steht ein "d.h.", das sich auf "intrinsisch" bezieht. Ein eigener Artikel könnte auch nicht mehr schreiben als da steht, Link rausgenommen.
- "Mannigfaltigkeit" sollte man vielleicht auch einfach überlesen und sich die Erdoberfläche vorstellen...
- der Satz mit "positiv definit" ist eigentlich auch nicht mehr für den Laien gedacht, sondern fasst die vorherige anschauliche Beschreibung in eine präzise mathematische Form; habe jedenfalls noch einen Link Skalarprodukt eingefügt
- link Metrik angepasst
- Habe mal etwas dazu geschrieben, aber wenn man das klarer machen will, muss man das viel ausführlicher machen, und das gehört nicht hierher, sondern nach vielleicht am besten nach hyperbolischer Raum.
- Habe das Nordpol-Südpol-Beispiel geändert, so ist klarer, wo die Entfernungsmessung hineinkommt.
Kommentare aus "Riemannsche Geometrie"
Was hier rein sollte: vom Thema her ist dies ein Übersichtsartikel, die moderne Disziplin heißt Differentialgeometrie und Theorie Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Allgemein: Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein nach 1920(?)), Weiterentwicklung der nichteuklidischen Geometrien von ca. 1800, evtl. Paradigmenbruch in der Physik (keine Unterscheidung zwischen mathematisch wahr und physikalisch wahren/realen Gegebenheiten, endgültig von Hilbert um 1900 verworfen).
Theoretisch: Warum sind topologische Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen nicht geometriefähig, Metrik-Tensor, Geodäten, Krümmung angesprochen, genau und ausführlich dort und unter Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Kopiert von Gunther 21:36, 13. Mär 2005 (CET)
Erde flach?
Müsste es nicht heissen, dass man damit sieht, "dass die Erde nicht (kugel-)rund, sondern abgeflacht ist"?
Dass die Erde nicht flach ist, wissen wir doch spätestens nach B. Brecht, oder war es schon früher *fg* ;-))))
- Nein, das ist genau so gemeint.--Gunther 10:17, 6. Jun 2005 (CEST)
Fehler im Beispiel
Ist da nicht ein Fehler im Beispiel? df ist eine 3x2 Matrix. df*x ist also nur für Vektoren aus R^2 sinnvoll.
Richtig wäre meiner Meinung nach:
Wir möchten eine Halbkugel als Riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen. Die Metrik soll von der Metrik in R^3 induziert werden. Das heißt, dass für x, y aus R^3 tangential an die Halbkugel im Punkt p die Metrik von x,y gleich das Standard-Skalarprodukt
Aber: Der Tangentialraum in einem Punkt p der Halbkugel trägt die Struktur eines 2-dimensionalen Vektorraumes. Wir führen eine Basis dieses Vektorraumes ein: df(e1), df(e2). Jetzt lassen sich x und y in dieser Basis als Vektoren aus R^2 schreiben:
x=(x1;x2)=x1*df(e1)+x2*df(e2)=df*(x1;x2),
y=(y1;y2)=y1*df(e1)+y2*df(e2)=df*(x1;x2).
Dann ist die Metrik von x,y gleich das Standardskalarprodukt
- Ja, so ist das wohl gemeint. Ich halte das Beispiel aber für ohnehin eher unverständlich, es ist unklar, wozu man die Metrik braucht. Wenn man eine schönere Parametrisierung wählen würde, könnte man ja eine riemannsche Metrik auf der offenen Kreisscheibe definieren, die der Geometrie der Halbkugel entspricht, evtl. noch als Vergleich die flache und die hyperbolische Metrik.--Gunther 12:55, 18. Jan 2006 (CET)
