Der Artikel Strahlensatz gehört zur Kategorie: Ebene Geometrie
Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.
Formulierung der Strahlensätze
Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:- Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
- Die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.
- Je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, stehen in gleichem Verhältnis zueinander. Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Strahlen voraus. Er ist hier nicht skizziert.
Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.
Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer "V-Figur" (linke Skizze), im zweiten von einer "X-Figur" (rechte Skizze).
Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes): Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.
Verwandte geometrische Konzepte
Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke ZAB und ZA'B' sind in beiden Skizzen zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen - eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.
- Siehe auch: Ähnlichkeitssätze
Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In der linken Skizze bildet beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) 1,5 die Punkte A und B auf die Punkte A' bzw. B' ab. Entsprechendes gilt für die rechte Skizze; hier ist der Streckungsfaktor gleich -0,5.
Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel
- [Formel]
Einfaches Anwendungsbeispiel
Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser soll mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt haben.
Diese Berechnung könnte - abgesehen von der Längeneinheit und der Schreibweise - etwa folgendermaßen ausgesehen haben:
Höhe des Stabes: [Formel]
Schattenlänge des Stabes: [Formel]
Abstand des Stabes von der Pyramide: [Formel]
Seitenlänge der Pyramide: [Formel]
- [Formel]
- [Formel]
Siehe auch:
- Daumensprung, Schätzen der Entfernung nach dem Strahlensatz mittels des eigenen Daumens
Diskussion der Autoren über den Artikel: Strahlensatz
Artikel graußig
Dieser Artikel ist graußig, und deckt meines Wissens nach nicht mal 50% von dem ab, was es zum Strahlensatz zu sagen gibt. Der Französische Artikel ist sehr gut! So wünsche ich mir den Deutschen auch, leider kann ich kein Französisch sonst würd ich das selbst in die Hand nehmen!
^^
na komm jetzt sei nicht unfair. für leute wie mich die es ausschließlich für den unterricht brauchen ist das sehr gut weil wirklich nur die wichtigsten sachen drin stehen.ich find den artikel gut ;)
